Question

一道关于双射，复合函数的数学题，由于题目本身不全，我不是很懂，望高人给予帮助，只言片语给个方向也好

中文 T 是一个双射 （一一对应）的函数， T：R3 -> R3
问下面哪一个是对的！

Answer 1

首先明确映射复合的定义.

若f: X → Y, g: Y → Z是两个映射.
则它们的复合映射g·f: X → Z就是将x∈X映为g(f(x))∈Z的映射.
复合号不会打, 暂时都用·代替

1. (无条件)正确.
由定义易验证映射复合的"结合律": T·(S·N) = (T·S)·N.
因为左边在任意一点x处的像定义为T(S·N(x)).
而S·N(x) = S(N(x)), 所以左边将x映为T(S(N(x))).
右边在任意一点x处的像定义为T·S(N(x)).
而T·S(y) = T(S(y)), 所以右边也将x映为T(S(N(x))).
两边在每个元素上的像相同, 因此是相同的映射.

由于有"结合律", 通常没有必要对映射的复合加括号.

2. 错误.
映射的复合没有交换性, 即便T, N都是双射也不行.
例如(这里x,y,z是R³中一点的坐标): T(x,y,z) = (x+1,y,z), N(x,y,z) = (-x,y,z).
T·N(x,y,z) = (1-x,y,z), 而N·T(x,y,z) = (-1-x,y,z).

3. (双射条件保证)正确.
由于T是双射, 即可逆映射, 所以这里的"消去律"也是成立的.
实际上, 只要T是单射(one to one)即可.
对任意元素x, 有T·A(x) = T·B(x), 即T(A(x)) = T(B(x)).
而T是单射, 可得A(x) = B(x), 即A, B在任意元素上的像相同, 因此A = B.

追问

非常感谢您的解答。 我也上传了其他一些问题，一道一悬赏。您要是有空的也可以帮我看看！ 非常感谢！！！

Answer 2

如果没看错题目是英文？！我英语不好，你给我翻译一下，我做做看。