Question

已知 符号[X] 表示不超过X 的最大整数，若函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点，则 a的取值范围是

Answer 1

当x>1时，[x]<=（表示小于等于）x，所以[x]/x<=1，要使其f(x)=[x]/x-a=0.则a最大取1，最小取零，
所以此时a的取值范围是（0,1]（此为一个根）
当x<0时，[x]>=（表示大于等于）x，所以[x]/x<=1（x为负数，除到一边要变号），要使其f(x)=[x]/x-
a=0.则a最大取1，最小取零， 所以此时a的取值范围是（0,1]（此为一个根）

当0<x<1时，[x]/x=0，此时a=0（此为一个根）
所以a的取值范围是[0,1]

追问

谢谢，好象答案不对呀！

Answer 2

因为f(x)=[x]/x-a=0，故[x]/x=a；
分x>0和x<0的情况讨论，显然有a≥0.
若x>0，此时[x]≥0；
若[x]=0，则[x]/x=0；
若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1，故[x]/（[x]+1）<[x]/x≤1，即[x]/（[x]+1）<a≤1。
且[x]/（[x]+1）随着[x]的增大而增大。
若x<0，此时[x]<0；
若-1≤x<0，则[x]/x≥1;
若x<-1,因为[x]≤x<-1；[x]≤x<[x]+1，故1≤[x]/x<[x]/（[x]+1），即1≤a<[x]/（[x]+1）。
且[x]/（[x]+1）随着[x]的减小而增大。
又因为[x]一定是，不同的x对应不同的a值。
所以为使函数f(x)=[x]/x-a有且仅有3个零点，只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1，-2，-3.
若[x]=1，有1/2<a≤1;
若[x]=2，有2/3<a≤1;
若[x]=3，有3/4<a≤1;
若[x]=4，有4/5<a≤1;
若[x]=-1，有a>1;
若[x]=-2，有1≤a<2;
若[x]=-3，有1≤a<3/2;
若[x]=-4，有1≤a<4/3;
综上所述，3/4<a≤4/5或4/3≤a<3/2.