已知a,b,c均为正数,且a+b+c=2,求证:1/a+1/b+1/c≥9/2
2013-03-31 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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证明：
1/a+1/b+1/c
=（2/a+2/b+2/c )/2
=[(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c ]/2
=[1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1(a+b)/c ]/2
=[3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a]/2
∵b/a+a/b≥2，c/a+a/c≥2，c/b+b/c≥2
∴[3+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)]/2 ≥(3+2+2+2 )/2=9/2
∴1/a+1/b+1/c≥9/2
当且仅当a=b=c时，取等号。
1/a+1/b+1/c
=（2/a+2/b+2/c )/2
=[(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c ]/2
=[1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1(a+b)/c ]/2
=[3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a]/2
∵b/a+a/b≥2，c/a+a/c≥2，c/b+b/c≥2
∴[3+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)]/2 ≥(3+2+2+2 )/2=9/2
∴1/a+1/b+1/c≥9/2
当且仅当a=b=c时，取等号。
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