Question

已知数列{an}的通项公式an=n/n^2+1,判断函数的单调性

过程详细。

Answer 1

an=n/(n²+1) >0，数列各项均为正。

a(n+1)/an=[(n+1)/[(n+1)²+1]]/[n/(n²+1)]

=(n+1)(n²+1)/[n[(n+1)²+1]]

=(n³+n²+n+1)/(n³+2n²+n+1)

=(n³+2n²+n+1-n²)/(n³+2n²+n+1)

=1- n²/(n³+2n²+n+1)<1

a(n+1)<an，数列单调递减。

简介：

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

Answer 2

an=n/(n²+1) >0，数列各项均为正
a(n+1)/an=[(n+1)/[(n+1)²+1]]/[n/(n²+1)]
=(n+1)(n²+1)/[n[(n+1)²+1]]
=(n³+n²+n+1)/(n³+2n²+n+1)
=(n³+2n²+n+1-n²)/(n³+2n²+n+1)
=1- n²/(n³+2n²+n+1)<1
a(n+1)<an，数列单调递减。

Answer 3

解：an=n/（n�0�5+1）将an的分子，分母都同时除以n，得到：an=1/[n+（1/n）]研究下n+（1/n）≥2也就是an≤1/2所以an最大是1/2，此是n=1/n，n=1所以该数列的是单调递减的