Question

把rt三角形ABC和rt三角形DEF按如图1摆放（点C与点E重合）点B,C,F

Answer 1

已知 把Rt三角形ABC和RT三角形DEF按如图甲摆放（点C与点E重合）点B、C（E）、F在同一直线上，∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9，DE=6，EF=8
如图乙，三角形DEF从甲的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向三角形ABC匀速运动，在三角形DEF移动的同时，点P从三角形DEF的顶点F出发，以3cm/s的速度沿FD向点D匀速移动，当点P移动到点D时，P点停止移动，三角形DEF也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接BQ、PQ，设移动时间为t（s）解答下列问题：
（1）设三角形BQE的面积为y，求y与x的函数解析式
应该是y与t的函数解析式
在Rt△DEF中由勾股定理可以得到：DF^2=DE^2+EF^2=36+64=100
所以，DF=10
同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°
所以，△ABC为等腰直角三角形
已知BC=9
所以，AB=AC=(9√2)/2
点P的移动速度是3cm/s，则它移动到D点需要的时间是10/3s
点E的移动速度是1cm/s，则在10/3s内移动的距离是10/3cm＜9/2
所以：当点P移动到终点停止时，点E还没有运动到BC中点，也就是说DE还没有过A点移动到A的左侧

已知CE=t，DE⊥BC，且∠ACB=45°
所以，△QEC也是等腰直角三角形
所以，QE=CE=t
那么，BE=BC-CE=9-t
所以，△BQE的面积y=(1/2)*BE*QE=(1/2)*(9-t)*t
=(-1/2)(t^2-9t)（0≤t≤10/3）

（2）当t为何值时，三角形DPQ为等腰三角形
由前面知，点P的移动速度为3cm/s
则，PF=3t
所以，DP=DF-PF=10-3t
又，DQ=DE-QE=6-t
已知在Rt△DEF中，DE=6，DF=10
所以，cos∠D=DE/DF=6/10=3/5
所以，在△DPQ中由余弦定理得到：
PQ^2=DP^2+DQ^2-2DP*DQ*cos∠D
=(10-3t)^2+(6-t)^2-2*(10-3t)*(6-t)*(3/5)
=100-60t+9t^2+36-12t+t^2-(6/5)(3t^2-28t+60)
=10t^2-72t+136-(18/5)t^2+(168/5)t-72
=(32/5)t^2-(192/5)t+64
△DPQ为等腰三角形：
①若DP=DQ
即，10-3t=6-t
===> t=2s
②若DP=PQ，则DP^2=PQ^2
即，(10-3t)^2=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> 100-60t+9t^2=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> (13/5)t^2-(108/5)t+36=0
===> 13t^2-108t+180=0
===> (t-6)(13t-30)=0
===> t1=6（t=6＞10/3，舍去），或者t2=30/13
所以，t=30/13
③当DQ=PQ时，则DQ^2=PQ^2
即，(6-t)^2=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> t^2-12t+36=(32/5)t^2-(192/5)t+64
===> (27/5)t^2-(132/5)t+18=0
===> 27t^2-132t+90=0
===> t=(132±6√214)/54
其中，t=(132+6√214)/54＞10/3，舍去
所以，t=(132-6√214)/54

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、B三点在同一直线上？若存在，请求出此时t的值，若不在，请说明理由
由前面知，△DPQ中，DP=10-3t，DQ=6-t
当B、Q、P在同一直线上时，过点P作DE的垂线，垂足为O
则PO//BE
所以，DP/DF=PO/EF
===> (10-3t)/10=PO/8
===> PO=(4/5)*(10-3t)
同理，DO/DE=DP/DF
===> DO/6=(10-3t)/10
===> DO=(3/5)*(10-3t)
而，DQ=6-t
所以，OQ=DQ-DO=(6-t)-(3/5)*(10-3t)=6-t-6+(9/5)t=(4/5)t
因为OP//BE
所以，OP/BE=OQ/EQ
===> (4/5)(10-3t)/(9-t)=(4/5)t/t
===> 10-3t=9-t
===> t=1/2
即，t=1/2s时，点B、Q、P在同一直线上

Answer 2

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP=AQ；
∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，
∴∠EQC=45°；
∴∠DEF=∠EQC；
∴CE=CQ；
由题意知：CE=t，BP=2t，
∴CQ=t；
∴AQ=8-t；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；
则AP=10-2t；
∴10-2t=8-t；
解得：t=2；
答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）过P作PM⊥BE，交BE于M
∴∠BMP=90°；
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB=
AC
AB
=
PM
BP
，
∴
PM
2t
=
8
10
；
∴PM=
8
5
t；
∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6-t；
∴y=S△ABC-S△BPE=
1
2
BC•AC-
1
2
BE•PM=
1
2
×6×8-
1
2
×(6-t)×
8
5
t
=
4
5
t2-
24
5
t+24=
4
5
(t-3)2+
84
5
；
∵a=
4
5
＞0，
∴抛物线开口向上；
∴当t=3时，y最小=
84
5
；
答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为
84
5
cm2．
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；
过P作PN⊥AC，交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC；
∴
PN
BC
=
AP
AB
=
AN
AC
；
∴
PN
6
=
10-2t
10
=
AN
8
；
∴PN=6-
6
5
t，AN=8-
8
5
t；
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-
8
5
t）=
3
5
t
∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP；
∴
PN
FC
=
NQ
CQ
，∴
6-65t
9-t
=
35t
t
；
∵0＜t＜4.5，∴
6-65t
9-t
=
35；
解得：t=1；
答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．