Question

（2011�6�1株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（2011�6�1株洲）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

Answer 1

1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ；
（2）解：PD=8-t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB^2+AP^2=BP^2，
即6^2+t^2=（8-t）^2，
解得：t=7/ 4 ，
即运动时间为7/ 4 秒时，四边形PBQD是菱形．

Answer 2

【答案】（1）证明： 四边形ABCD是矩形，　　∴AD∥BC，　　∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，　　∴△POD≌△QOB，　　∴OP=OQ。　　（2） PD=8-t　　∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，　　∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.　　当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，　　∴△ODP∽△ADB，　　∴ ，即 ，　　解得 ,即运动时间为 秒时，四边形PBQD是菱形.

Answer 3