Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+11)/(x+1),若对于任意的x属于R,f(x)大于等于3恒成立，求a的范围.

为什么这种方法不对：
x^2+ax+11)/(x+1)≥3，整理可得x^2+(a-3)x+8≥0，函数开口向上，只需要和x轴有一个或者没有交点就可以了，判别式△=（a-3）^2-32≤0就可以求出来a的取值范围。解出来a≥3-4√2

而这种方法正确呢
由已知得(x^2+ax+11)/(x+1))≥3得出a≥3-x-8/x
记g(x)=3-x-8/x,下面求g(x)的最大值
g'(x)=(8-x^2)/x^2
当x≥3时,g'(x)<0,得g(x)是减函数,
x=3时,g(x)=-8/3
而x=1时,g(x)=-6;x=2时,g(x)=-3
所以g(x)的最大值为-8/3
所以a的取值范围是[-8/3,+∞)

Answer 1

方法二是必须掌握的，这种题目常常是分离出a，然后转化成求函数的最值问题。

你的方法一是可以的，但是你犯了一个错误

你是先移项再通分对不对？整理后也应该是：

[x^2+(a-3)x+8]/(x+1)≥0，而你的分母（x+1)怎么不见了呢，除非（x+1)恒大于0才可去掉，所以你还要讨论（x+1）的正负情况！

但是即便讨论了，仍然和方法二的答案不一致，我也不知其原因。我在百度上查了下，有好多人问同样的题，答案也是莫衷一是，我正在跟搭档讨论，你先别追问，等讨论好了，给你满意结果！

哎，抱歉，我们无能为力！

Answer 2

你没有考虑到正负号的问题
ax≥-x²+3x-8
这一步要分开讨论x是否大于0
若x大于0
a≥3-(x+8/x)≥3-4√2
若x小于0
a≤-x-8/x+3
-x-8/x≥3+4√2
综上3-4√2≤a≤3+4√2