Question

如图 角a为钝角 且sina 3 /5。P.Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点。

如图 角a为钝角 且sina 3 /5。P.Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点。。（1）若AP=5，PQ=(3倍根号5)，求AQ的长。(2)设∠APQ=α.∠AQP=β.且cosα=12/13。求sin（2α＋β）的值。

Answer 1

【答案】
（1）2.（2）56/65
【解析】∵角A是钝角，sin A＝3/5，∴cos A＝－4/5.
(1)在△APQ中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcos A，所以AQ2＋8AQ－20＝0，
解得AQ＝2或－10(舍去负值)，所以AQ＝2.
(2)由cos α＝12/13，得sin α＝5/13，
在△APQ中，α＋β＋A＝π，
得sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝3/5，cos(α＋β)＝－cos A＝4/5，
∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝13/5×4/5＋12/13×3/5＝56/65.

Answer 2

解：（1）在△APQ中，PQ^2=AP^2+AQ^2-2AP�6�1AQcosA，
∴PQ^2=25+4-2×5×2×（-4/5）
解得PQ=3√5
（2）（2）由cosα=12/13
，得sinα=5/13
，
又sin（α+β）=sinA=3/5
，cos（α+β）=-cosA=4/5

∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=5/13�6�14/5+12/13�6�13/5=56/65．