Question

求解一道高中三角函数题!高手请进,要详细过程

已知函数f(x)=(√3sinωx+cosωx)*sin(-3π/2+ωx)（0<ω<1/2），且函数y=f(x)的图像的一个对称中心为(5π/3,a)
只用把求a和求ω的过程写出来就可以了，万般感谢！！！！

Answer 1

f(x)=(√3sinωx+cosωx)*sin(-3π/2+ωx)
=(√3sinωx+cosωx)*sin(π/2+ωx)
=(√3sinωx+cosωx)*cosωx
=(1/2)*(√3*2sinωx*cosωx+2cos²ωx)
=(1/2)*(√3sin2ωx+ cos2ωx +1)
=sin2ωx*cos(π/6) +cos2ωx*sincos(π/6) + 1/2
=sin(2ωx+π/6) + 1/2
已知函数y=f(x)的图像的一个对称中心为(5π/3,a)，则可知：
当x=5π/3时，sin(2ωx+π/6)=0且有a=1/2
那么：sin(10ωπ/3 +π/6)=0
因为0<ω<1/2，那么：0<10ωπ/3< 5π/3
所以：π/6<10ωπ/3 +π/6< 11π/6
要使sin(10ωπ/3 +π/6)=0成立，须使：
10ωπ/3 +π/6=π
即：10ωπ/3 =5π/6
解得：ω=1/4
所以：ω=1/4，a=1/2

Answer 2

已知函数f(x)=[(√3)sinωx+cosωx]sin(-3π/2+ωx)（0<ω<1/2），且函数y=f(x)的图像的一个对称中心为(5π/3,a)；求a和求ω.
解：f(x)=[(√3)sinωx+cosωx]sin(-3π/2+ωx)=[(√3)sinωx+cosωx][-sin(3π/2-ωx)]
=[(√3)sinωx+cosωx]cosωx=(√3/2)sin(2ωx)+cos²ωx=(√3/2)sin(2ωx)+(1+cos2ωx)/2
=sin(2ωx)cos(π/6)+cos(2ωx)sin(π/6)+1/2=sin(2ωx+π/6)+1/2
x=5π/3是其一个对称中心，故有2ω(5π/3)+π/6=kπ，即有ω=(3/10π)(kπ-π/6)=(3/10)(k-1/6)
当k=1时，ω=1/4<1/2，故可取ω=1/4；那么f(x)=sin[(1/2)x+π/6)+1/2；对称中心：(5π/3，1/2).
即ω=1/4，a=1/2；