Question

一道拓展探究的高一数学题（高手请进）要求解答过程详细

已知矩形ABCD中,C(4,4),点A在x^2+y^2=9(x>0,y>0)上运动,AB,AD分别平行于x轴,y轴,当矩形ABCD面积最小时A点的坐标?
要求解答过程详细 谢谢！

Answer 1

解：
x>0,y>0
C(4,4),xC=yC=4
点A在x^2+y^2=9,r=3<4
点A的坐标（x，y）
x=3cosa,y=3sina
ABCD面积=(4-x)*(4-y)=(4-3cosa)*(4-3sina)=16-12(cosa+sina)+9sina*cosa
设cosa+sina=m，则
(cosa+sina)^2=m^2
1+2sina*cosa=m^2
2sina*cosa=(m^2-1)
9sina*cosa=4.5(m^2-1)

ABCD面积=16-12m+4.5(m^1-1)=4.5*(m-4/3)^2+3.5
m=4/3,ABCD面积最小=3.5
2sina*cosa=(m^2-1)=(4/3)^2-1=7/9
sina*cosa=7/18......(1)
cosa+sina=m=4/3......(2)
解上方程组,得
cosa=(4+√2)/6,sina=(4-√2)/6
或cosa=(4-√2)/6,sina=(4+√2)/6
x=3cosa,y=3sina
ABCD面积最小时A点的坐标为:
A[(4+√2)/2,(4-√2)/2]
或A[(4-√2)/2,(4+√2)/2]

Answer 2

设A点坐标为
（3cosa,3sina) a<90度
则有
s=(4-3cosa)(4-3sina)=16-12(sina+cosa)+9sina*cosa
=16-12(sina+cosa)+1/2(18sina*cosa+9)-9/2
=1/2(3sina+3cosa-4)^2+16
最小值为a=90或者0度
15.5