Question

设函数F(X)=1/3X^3-MX^2+(M^2-4)X

已知函数F（X）有三个互不相同的零点0,α，β（α《β）。若对任意的X属于[α,β],都有F(X)>=F(1)恒成立，求实数M的取值范围。

Answer 1

f′（x）=x2-2mx+（m2-4），令f′（x）=0，得x=m-2或x=m+2．当x∈（-∞，m-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，m-2）上是增函数；当x∈（m-2，m+2）时，f′（x）＜0，f（x）在（m-2，m+2）上是减函数；当x∈（m+2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（m+2，+∞）上是增函数．因为函数f（x）有三个互不相同的零点0，α，β，且f（x）=13x[x2-3mx+3（m2-4）]，所以{(3m)2-12(m2-4)＞03(m2-4)≠0解得m∈（-4，-2）∪（-2，2）∪（2，4）．当m∈（-4，-2）时，m-2＜m+2＜0，所以α＜m-2＜β＜m+2＜0．此时f（α）=0，f（1）＞f（0）=0，与题意不合，故舍去；当m∈（-2，2）时，m-2＜0＜m+2，所以α＜m-2＜0＜m+2＜β．因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1；当m∈（2，4）时，0＜m-2＜m+2，所以0＜α＜m-2＜m+2＜β．因为对任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，所以α＜1＜β．所以f（1）为函数f（x）在[α，β]上的最小值．因为当x=m+2时，函数f（x）在[α，β]上取最小值，所以m+2=1，即m=-1（舍去）．综上可知，m的取值范围是{-1}．