Question

已知abc属于（0，1）求证（1-a）b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于4/1

Answer 1

用反证法证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√[(1-a)b]>1/2,√[(1-b)c]>1/2,√[1-c)a]1/2
则
√(1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
以上三式相加：
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与假设得到的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4 即(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不可能同时大于1/4