Question

如图,已知C是线段AB上的任意一点(端点除外),分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧

如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN‖AB；② 1/MN =1/AC+1/BC；③MN≤1/4 AB，其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 求过程

Answer 1

正确结论的个数是（D ） A．0 B．1 C．2 D．3

证明如下：

如图：

①

∵∠ACD=∠CBE=45°

∴CD∥BE

∴CM：BE=AC：AB

∴CM=BE·AC/AB

同理

CN=AD·BC/AB

∵AC=√2AD，BC=√2BE

∴BE·AC/AB=√2BE·AD/AB

   AD·BC/AB=√2BE·AD/AB

∴CM=CN

又∠MCN=180-∠ACD-∠ECB=90°

∴∠CMN=∠CNM=45°

∴∠CMN=∠ACD

∴MN∥AB

②

上面已证：

CM=BE·AC/AB==√2BE·AD/AB

∵△CMN是等腰Rt△

∴MN=√2CM=√2BE·√2AD/AB

        =BC·AC/(BC+AC)

∴1/MN=(BC+AC)/(BC·AC)

           =1/AC+1/BC

③

MN=BC·AC/(BC+AC)

AB=(BC+AC)

∴1/4AB=(BC+AC)/4

∴1/4AB-MN

=(BC+AC)/4-BC·AC/(BC+AC)

=[(BC+AC)²-4BC·AC]/4(BC+AC)

=(BC-AC)²/4（BC+AC)

∵（BC-AC）²≥0

∴1/4AB-MN≥0

即：MN≤1/4AB

Answer 2

解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴CNNE=DCBE①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴AMME=ADCE②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴CNNE=AMME，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴CNNE=DNNB，
设 CNNE=DNNB=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴△EMN∽△EAC，
∴MNAC=NECE=NENE+CN=1k+1，
MNBC=DNDB=DNDN+NB=kk+1，
∴MNAC+MNBC=1，
∴1MN=1AC+1BC；

Answer 3

①△ACD和△BCE为等腰直角三角形，有AD∥CE，CD∥BE；
AD∥CE，则△ADM∽△ECM，;
CD∥BE,则△CDN∽△EBN，有
由于AD=CD，BE=CE，
∴
∠AEC=∠AEC
∴
∴∠EMN=∠EAB
∴MN∥AB，①正确。
②
∴
∴

,
代入上式有
即②

③
③正确，答案选D。

Answer 4

..：①∠ADC=∠DCE=∠CEB=90°→AD∥CE DC∥EB
∴EM/AM=EC/AD=BC/AC EN/NC=EB/DC=BC/AC
∴EM/AM=EN/CN
∴MN∥AB
②AC/MN=AE/ME=(AM+ME)/ME=AM/ME+1=AC/BC+1=AB/BC
同理 BC/MN=AB/AC
两式相加 得 1/MN=1/AC+1/BC
③明显成立

所以3个都对！

Answer 5

选择D过程不会