Question

一个圆经过点P(2,-1)和直线X-Y=1相切,并且直线Y=-2X经过圆心,求它的标准方程

Answer 1

设圆心坐标为(m,-2m)，由题意得： |m+2m-1|/√(1²+1²)=√[(m-2)²+(-2m+1)²]；
上式两端平方：(3m-1)²/2=5m²-8m+5；
解得：m=1，m=9；
圆心坐标(1,-2)、(9,-18)；
半径 r=|m+2m-1|/√2=|1+2*1-1|/√2=√2；或 r=|9+2*9-1|/√2=13√2；
圆标准方程：(x-1)²+(y+2)²=√2² 或 (x-9)²+(y+18)²=(13√2)²；

Answer 2

设 圆心Q(K，-2K)，
PQ^2=(K-2)^2+(-2K+1)^2=5K^2-8K+5，
Q到X-Y-1=0的距离：
d=|K+2K-1|/√2=|3K-1|/√2，
根据题意：PQ^2=d^2，
∴10K^2-16K+10=9K^2-6K+1
K^2-10K+9=0
K=1或9，
∴圆心坐标(1，-2)或(9，-18)，
半径d=√2或13√2，
∴圆方程：(X-1)^2+(Y+2)^2=2或(X-9)^2+(Y+18)^2=338。

追问

你为什么设圆心Q(k，-2k)？设(a,b)不行么

追答

∵圆心在直线Y=-2X上，设这样，横纵坐标有关系，
若设为(a，b)也是可以的，但b=-2a，多一些麻烦。

Answer 3

设圆心（a,-2a）,它到直线x-y-1=0的距离为半径r=\3a-1\/根号2
点（2，-1）经过圆
所以
（2-a）^2+(-1+2a)^2=(3a-1)^2/2
a=1或a=-9
标准方程:(x-1)^2+(y+2)^2=2或:(x-9)^2+(y+18)^2=338

Answer 4

解:设圆心为c(a,-2a),先求出圆心到直线x-y=0的距离d
(用点到直线距离公式求),d=r,
然后再求出圆心与点p(,)的距离pc
(用pc
^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2求),pc=r,由pc=d可求a,r
那么圆的方程为(x-a)^2+(y+2a)^2=r^2