Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)、C(3，0)、D(3，4).

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)、C(3，0)、D(3，4).,以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx+c过C点.动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出相应的t值.</SPAN></SPAN></SPAN></SPAN></SPAN>

Answer 1

上抛物线的图啊。亲~~~~~
算了，不用图了，慢慢给你做。
解：(1)∵ABCD为矩形
而B(1，0)、C(3，0)、D(3，4)
∴所A点坐标为(1，4)
设抛物线解析式另为y=a(x-h)²+k (顶点式)
抛物线顶底坐标为A(1，4)，
∴h=1 ，k=4
代入得y=a(x-1)²+4
又抛物线经过点C（3，0) ，代入得
0=a(3-1)²+4
解得a=-1
∴y=-(x+1)²+4
整理得y=-x²+2x+3

（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
设点P坐标为（1，4-t） (AB为4,AP为t·1，所以BP为4-t，即P点纵坐标)
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t/2
∴点G的横坐标为1+t/2，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²/4
∴GE=（4-t²/4）-（4-t）=t-t²/4
∵点A到GE的距离为E点的横坐标-A点的横坐标=(1+t/2)-1=t/2 ，
C到GE的距离为C点的横坐标-E点的横坐标= 3-(1+t/2)=2-t/2
∴S△ACG=S△AEG+S△CEG
=1/2•EG•t/2+1/2•EG（2-t/2）
=1/2•2(t-t²/4)
=-1/4（t-2)²+1
∵t-2≥0，t-2越大，则整式结果越小
∴当t＝2时，整式结果为最大。
即S△ACG=1 为最大。

Answer 2

解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）^2+4
∵抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1)^2+4，
解得，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1)^2+4，
即y= -x^2+2x+3
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1，4-t)
∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t/2
∴点G的横坐标为1+t/2，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t^2/4．
∴GE=（4-t^2/4）-（4-t）=t-t^2/4．
又点A到GE的距离为t/2，C到GE的距离为2-t/2，
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1/2EGxt/2+1/2EG(2-t/2)= -1/4(t-2)^2+1
当t=2时，S△ACG的最大值为1

（3）t=20/13 或t=20-8√ 5