
已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.讨论函数y=f(x)零点个数
答案是说,“若极大值大于0,即0<a<1,则函数有两个零点,分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间”那如果其中左边的零点在定义域意外,怎么办?答案怎么知道两个零点都...
答案是说,“若极大值大于0,即0<a<1,则函数有两个零点,分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间”
那如果其中左边的零点在定义域意外,怎么办?
答案怎么知道两个零点都大于零?如何论证? 展开
那如果其中左边的零点在定义域意外,怎么办?
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3个回答
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f(x)=lnx-ax+1, 定义域(0,+∞)
f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x
当a≤0时,1-ax>0恒成立,f'(x)>0
∴f(x)为增函数
又当x无限趋近于0(从0的右边)时,f(x)趋近-∞,
当x趋于正无穷大时,f(x)趋于+∞
∴f(x)有且只有1个零点
当a>0时,f'(x)=-a(x-1/a)/x
f(x)在(0,1/a)上递增,在(1/a,+∞)上递减
f(x)极大值=f(1/a)=ln(1/a)-1+1/a
当f(1/a)=0时,即ln(1/a)-1+1/a=0,解得a=1
此时,f(x)只有1个零点
当f(1/a)<0即ln(1/a)-1+1/a<0 ,1/a<1+lna, 解得a>1
此时,f(x)无零点
当f(1/a)=-llna-1+1/a>0即1/a>1+lna ,解得0<a<1
此时,当x无限趋近于0(从0的右边)时,f(x)趋近-∞,
当x趋于正无穷大时,f(x)趋于-∞
∴f(x)的图像与x轴有2个交点,分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间”
即f(x)有2个零点
这里用了极限的思想,高中生理解起来比较困难,
f(x)=lnx-ax+1 ,
x-->0+时, lnx-->-∞(从lnx图像看),-ax-->0,
∴f(x)=lnx-ax+1 无限趋于-∞
f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x
当a≤0时,1-ax>0恒成立,f'(x)>0
∴f(x)为增函数
又当x无限趋近于0(从0的右边)时,f(x)趋近-∞,
当x趋于正无穷大时,f(x)趋于+∞
∴f(x)有且只有1个零点
当a>0时,f'(x)=-a(x-1/a)/x
f(x)在(0,1/a)上递增,在(1/a,+∞)上递减
f(x)极大值=f(1/a)=ln(1/a)-1+1/a
当f(1/a)=0时,即ln(1/a)-1+1/a=0,解得a=1
此时,f(x)只有1个零点
当f(1/a)<0即ln(1/a)-1+1/a<0 ,1/a<1+lna, 解得a>1
此时,f(x)无零点
当f(1/a)=-llna-1+1/a>0即1/a>1+lna ,解得0<a<1
此时,当x无限趋近于0(从0的右边)时,f(x)趋近-∞,
当x趋于正无穷大时,f(x)趋于-∞
∴f(x)的图像与x轴有2个交点,分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间”
即f(x)有2个零点
这里用了极限的思想,高中生理解起来比较困难,
f(x)=lnx-ax+1 ,
x-->0+时, lnx-->-∞(从lnx图像看),-ax-->0,
∴f(x)=lnx-ax+1 无限趋于-∞
2013-04-01
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f(x)=lnx-ax+1,lnx 要求x>0,否则没有意义。因此f(x)的定义域为(0,+∞).对于一个函数的任何讨论是一定要在他的定义域内讨论的
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定义域x>0
f'(x)=1/x-a
1)如果a<=0, 则f'(x)>0, 函数单调增,f(0+)-->-∞, f(1)=-a+1>0, 因此f(x)有唯一零点,且在(0,1)区间内。
2)如果a>0, 则x=1/a为极大值,f(1/a)=-lna.
若极大值大于0,即0<a<1,则函数有两个零点,分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间;
若极大值等于0,即a=1,则函数只有一个零点x=1/a=1
若极大值小于0,即a>1, 则函数没有零点。
f'(x)=1/x-a
1)如果a<=0, 则f'(x)>0, 函数单调增,f(0+)-->-∞, f(1)=-a+1>0, 因此f(x)有唯一零点,且在(0,1)区间内。
2)如果a>0, 则x=1/a为极大值,f(1/a)=-lna.
若极大值大于0,即0<a<1,则函数有两个零点,分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间;
若极大值等于0,即a=1,则函数只有一个零点x=1/a=1
若极大值小于0,即a>1, 则函数没有零点。
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