Question

已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.讨论函数y=f(x)零点个数

答案是说，“若极大值大于0，即0<a<1,则函数有两个零点，分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间”

那如果其中左边的零点在定义域意外，怎么办？
答案怎么知道两个零点都大于零？如何论证？

Answer 1

f(x)=lnx-ax+1， 定义域(0,+∞）
f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x
当a≤0时，1-ax>0恒成立，f'(x)>0
∴f(x)为增函数
又当x无限趋近于0(从0的右边）时，f(x)趋近-∞，
当x趋于正无穷大时，f(x)趋于+∞
∴f(x)有且只有1个零点

当a>0时，f'(x)=-a(x-1/a)/x
f(x)在(0,1/a)上递增，在(1/a,+∞)上递减
f(x)极大值=f(1/a)=ln(1/a)-1+1/a

当f(1/a)=0时，即ln(1/a)-1+1/a=0，解得a=1
此时，f(x)只有1个零点

当f(1/a)<0即ln(1/a)-1+1/a<0 ,1/a<1+lna, 解得a>1
此时，f(x)无零点

当f(1/a)=-llna-1+1/a>0即1/a>1+lna ,解得0<a<1
此时，当x无限趋近于0(从0的右边）时，f(x)趋近-∞，
当x趋于正无穷大时，f(x)趋于-∞
∴f(x)的图像与x轴有2个交点，分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间”
即f(x)有2个零点

这里用了极限的思想，高中生理解起来比较困难，

f(x)=lnx-ax+1 ，
x-->0+时， lnx-->-∞（从lnx图像看），-ax-->0,
∴f(x)=lnx-ax+1 无限趋于-∞

Answer 2

f(x)=lnx-ax+1，lnx 要求x>0，否则没有意义。因此f(x)的定义域为(0,+∞).对于一个函数的任何讨论是一定要在他的定义域内讨论的

Answer 3

定义域x>0
f'(x)=1/x-a
1）如果a<=0, 则f'(x)>0, 函数单调增，f(0+)-->-∞, f(1)=-a+1>0, 因此f(x)有唯一零点，且在（0，1）区间内。
2）如果a>0, 则x=1/a为极大值，f(1/a)=-lna.
若极大值大于0，即0<a<1,则函数有两个零点，分别位于(0,1/a)及(1/a,+∞)区间；
若极大值等于0，即a=1,则函数只有一个零点x=1/a=1
若极大值小于0，即a>1, 则函数没有零点。