Question

跪求哪位数学神人能帮我解了这道题！！！有关向量的！谢谢了！！！！

如有结果可以直接回复，也可以发邮箱 2509741819@qq.com，真的谢谢您了！！！

翻译如下：

有个不规则四面体OABC, O是原点， ABC分别在x，y,z轴上，OA长为1，∠ACO为15度，∠BCO是30度

a) 分别求OB和OC的长
b) 求向量AB,AC还有BC的值
c) 三角形ABC的面积
d) 有一点M在从原点引出的法线上和三角形ABC所在的平面相交，求M的坐标

Answer 1

追问

第一问第二问我和你的结果是一样的，但是第三问和第四问我还是看不太懂，你能稍微再仔细的解释一下：

为什么第三问那个向量AB和向量AC的乘积的模展开之后是那样的呢？

第四问开头是怎么取的法向量的值就就是AB、AC模的乘积呢，怎么进而得出平面ABC的方程？

追答

第三问 用到向量积的几何意义，向量积的模在数值上等于以这两向量为边所做平行四边形的面积

里面的||为行列式，也就是AB，AC的向量积

外面的||为向量的模

对于向量a=p*i+q*j+r*k
向量的模，即向量的长度|a|=√(p^2+q^2+r^2)

第四问 由向量积在定义时，向量积的方向按右手规则，且垂直于两向量所确定的平面

因此可以将两向量的向量积做为平面法向量，再利用点法式就可以写出平面方程

追问

为什么向量积能作为平面法向量?还有，什么叫点法式？？怎么就能根据点法式写出平面方程？

追答

向量积的定义，从字面意思理解，也就是由向量积得到的结果是一个向量，而不是数量（区别于数量积）

 

其定义源于物理量之间的运算，可参考力矩的计算，如图

 

 

 

向量既有大小又有方向，定义时，向量积的方向与这两个向量都垂直，且符合右手规则，这点你慢慢理解下

 

几何里有这样的结论：垂直于同一平面内两条相交直线的直线，垂直于那两条直线所确定的平面

 

因此平面内两条相交直线的向量积可以作为该平面的法向量

 

点法式是一种确定平面方程的方法，就象确定直线的点斜式，两点式一样

 

点法式要求知道平面的法向量，和该平面内任一点，即可写出

 

若n={p,q,r}为平面法向量，点(x0,y0,z0)为平面内任一点，则点法式平面方程为

 

p(x-x0)+q(y-y0)+r(z-z0)=0

 

我上面写的方程用的点为A点，A点简单些，当然选B或C也行

Answer 2

那我直接说第三个和第四个吧

3）

相信你一定可以求出A,B,C三点的坐标吧，那么进而就可以得到|AB| |AC|和|BC|的长度了，在A,B上取一点P,使OP垂直于AB，则由三角形面积公式可以求得OP的长度：OA*OB=OP*AB

连接P,C,可得PC也垂直于AB,由勾股定理可以求得PC在三角形OPC中 PC平方=OP平方+OC平方

则三角形ABC的面积为  PC*AB，这样每一步都可以计算得出具体的数字，最后一定可以算出结果

 

4）

由题设M(x,y,z) 可知，向量OM垂直于AB,AC,BC,这三条边，用刚刚求得的坐标写出AB,AC,BC,这三条边的向量表达式，再用向量OM分别乘以向量AB,AC,BC，得到三个等式，有三个未知数，刚好是三元一次方程，可以解的x,y,z,的值，即所求的M的坐标

 

本来我有写好过程的，发现照下来不清楚，所以麻烦楼主自己算一下啦，，这就当熟悉一下方法啦，，若有疑问欢迎追问，，祝您学习进步

Answer 3

oc=tan15°oa
tan15°oa
=sin15°/cos15°
=√((1+cos30°)/2)/√((1–cos30°)/2)
ob=tan30°×oc

追问

亲 后面几文也帮忙看看好么？？？

追答

第一问求出来，ABC坐标自然知道。第二问问向量坐标，坐标相减即可，第三问可由第二问求三边长度，再解三角形，再用面积公式s=1/2absinθ(求面积，你应该懂，话说为何是英语的，不过外国数学的确比较简单吧)，

追问

第一问第二问我都已经算出来了 至于第三问 我的思路和你是一样的 就是这两个AC和AB向量点乘 然后在根据它已经被我求出来的坐标就能求出AC、AB的夹角 但是就这过程中算的时候AC和AB坐标值相互抵消 我发现并算不出来。。。><

Answer 4

阿门，上帝保佑你……好难算啊……全还给老师啦~~~呜呜~