Question

已知数列an满足sn＝2n－an，求an的通项公式。

Answer 1

n=1时，有a1=s1=2-a1,故得：a1=1
an=Sn-S(n-1)=2n-an-[2(n-1)-a(n-1)]=2-an+a(n-1)
故2an=2+a(n-1)
an-2=1/2*[a(n-1)-2]
因此{an-2}为公比为1/2的等比数列
an-2=(a1-2)/2^(n-1)
an=2+(a1-2)/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)

Answer 2

s1=2*1-a1=a1,a1=1;
s2=a1+a2=2*2-a2=1+a2,a2=3/2
s3=a1+a2+a3=2*3-a3=1+3/2+a3,a3=7/4
s4=a1+a2+a3+a4=2*4-a4=1+3/2+7/4+a4,a4=15/8
推测：an=(2^n-1)/2^(n-1)；
s(n+1)=sn+a(n+1)=2(n+1)-a(n+1),
则a(n+1)=[2(n+1)-sn]/2=n+1-sn/2=n+1-[2n-(2^n-1)/2^(n-1)]/2
=n+1-n+(2^n-1)/2^n=2-1/2^n=[2^(n+1)-1]/2^n
已证实an=(2^n-1)/2^(n-1)；