Question

高中数学解析几何是求|x1-x2|取值范围。

Answer 1

由f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
得导数g(x)=3ax^2+2bx+c
由g(0)*g(1)>0
得c*(3a+2b+c)>0
判别式=4b^2-12ac>0（有两根）
由于a+b+c=0,将c=-a-b代入上不等式，整理
2a^2+3ab+b^2<0
3a^2+3ab+b^2>0
不等式同除以a^2
(b/a)^2+3b/a+2<0
(b/a)^2+3b/a+3>0(恒成立)
解不等式得：-2<b/a<-1
讨论：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(-2b/3a)^2-4*(c/3a)=4/9*((b/a)^2+3(b/a)+3)
上式x1+x2=2b/3a，x1*x2=c/3a
令z=b/a
(x1-x2)^2=4/9*(z^2+3z+3)，对称轴：z=-3/2.
-2<z<-1
当z=-3/2.时取得最小值：min=1/3
当z=-1或-2.时取得最大值：max=9/4
故：根号内(1/3)<[x1-x2]<3/2
完毕