Question

高中数学：已知函数f(x)=lnx+mx²(m∈R) (1)求函数f(x)的单调区间;(2)若m=0,A(a,f(a))

已知函数f(x)=lnx+mx²(m∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点，且a>b>0,f'(x)为f(x)的导函数，求证：f'((a+b)/2)<(f(a)-f(b))/(a-b)<f'(b);
(3)求证：2/3+2/5+2/7+......+2/(2n+1)<ln(n+1)<1+1/2+1/3+......+1/n(n∈N*)

Answer 1

解
(1)求函数f(x)的单调区间; 因为 lnx和x^2在0到无穷上都是增函数，所以
a）当m≥0时，单调区间就是（0，∞）
b）当m<0时，f'(x)=1/x +2mx，令f'(x)=0，解得x=1/√(-2m)，
当x<1/√(-2m)时，f'(x)>0,为增函数，
当x>1/√(-2m)时，f'(x)<0,为增函数，
单调区间为（0，1/√(-2m）] 单调递增，（1/√(-2m），∞)上单调递减

2)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点，且a>b>0,f'(x)为f(x)的导函数，求证：f'((a+b)/2)<(f(a)-f(b))/(a-b)<f'(b);
因为f'(x)=1/x，因为在区间上b最小，所以
因为f'(x)=1/x 单调递减，而lnx,与过A(a,f(a))、B(b,f(b))两点的直线相交，
所以对于在区间（a，b）上导函数f'(x)=1/x 的平均值等于 直线的斜率)(f(a)-f(b))/(a-b)。（在大学学了积分就更好理解一些）。
f'(b)=1/b 是区间 （a，b）的最大值，必定大于区间的平均值。所以就应该大于直线斜率。
所以有
(f(a)-f(b))/(a-b)<f'(b);

又因为，f'(x)=1/x 单调递减，所以前半段的平均值大于后半段的均价值。整段的平均值就应该前半段的某点，假设为c点。1/c=〉1/[(a+b)/2] ,
又f'(c)=(f(a)-f(b))/(a-b)，所以

f'((a+b)/2)<(f(a)-f(b))/(a-b)

(3)求证：2/3+2/5+2/7+......+2/(2n+1)<ln(n+1)<1+1/2+1/3+......+1/n(n∈N*)
因为ln(n+1)=ln1+ (ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+.....+(ln (n+1)-ln n)，因为ln1=0
ln(n+1)= (ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+.....+(ln (n+1)-ln n)，
根据前面的性质
(ln2-ln1)/（2-1） < 1
(ln3-ln2)/（3-2）<1/2
.... ....
(ln(n+1)-ln n)/(n+1-n）<1/n
所以ln(n+1)<1+1/2+1/3+......+1/n

同样根据前面的性质 (ln2-ln1)/（2-1）> f'(ln((1+2)/2))=1/(3/2)=2/3
(ln3-ln2)/（3-2) > f'(ln(5/2))=1/(5/2)=2/5
... ....
(ln(n+1)-ln n)/(n+1-n) > f'(ln((2n+1)/2))=2/(2n+1)
所以 ln(n+1)= (ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+.....+(ln (n+1)-ln n)
>2/3+2/5+2/7+......+2/(2n+1)
综上所述，命题得证

Answer 2

真麻烦