Question

概率和统计学中的几个基础问题

我看的是英文教案，请教一下，V（X）和expect value，即E(X)是什么意思？给我举几个最简单的例子。谢谢！

Answer 1

V是方差的符号。
expect value，即E(X)就是期望的意思。
V描述的是随机变量偏离平均值E的幅度。
例如，离散型随机变量x的取值情况如下：0.1的概率取1,0.9的概率取2
那么我们从大量实验来看，x取值的期望是多少？
很容易知道就是EX=0.1*1+0.9*2=1.9
至于方差，他表示的是X取值偏离1.9的情况，表达式就是E(X-EX)^2

追问

你得回答比上面的朋友简短，但一看就是手打的，很有诚意，非常感谢，将会采纳你为正确答案，然而还有一问，什么是密度函数？仍然用浅显的例子生活化的解答一下。

追答

密度函数只是概率论里面的一个定义。一般来讲概率的部分分为三种。
第一种是离散型随机变量，我们仅仅需要知道每个随机变量的取哪些值以及对应的概率即可。
第二种是连续性随机变量，随机变量的取值是不可列无穷多个，并且是连续的，所以类比物理中密度的概念，定义了密度函数。比如说随机变量X可以随机取得【1,5】中间的任意值，但是凭此我们并不知道他的分布情况，也就是说取其中某一段（比如说【2,3】）的概率是多少。如果要知道，就必须要知道对应的密度函数。于是我们可以在加一个条件：X在此区间上均匀分布，也就是说取每个值的概率是一样的，同时我们也知道，无穷多个数中取到一个数的概率是0，所以我们此时要用微元的思路来分析，我们分析其中的某一段△x，这一段要多小就有多小，由于是等概率取得，所以我们不妨设X落在此区域的概率是P，就好像我们要求一个物体的质量，我们可以把它分成无穷多份，然后每一份的质量相加一样，如果这个物体时均匀密度的，那么没一小份的质量就是对应的体积△V乘以密度r,然后求和。于是就得到了物体质量。类比物理概念：我们定义概率密度函数：使等式∫f（x）dx=1成立的函数f（x）就是对应区域里的概率密度函数。
所以你现在可以试着求一下上面的均匀分布的概率密度函数

Answer 2

X是一个随机变量。E(X)是X的数学期望（mathematical expectation）。
V(X)应该是X的方差。E(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
E(X)的计算举例。
（1）首先，以取值是离散型的随机变量为例。
假设X只可取值0，1，2，3。
其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，
那么X的数学期望E(X)=0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03=1.11。

（2）其次，取值是连续型的随机变量会给出概率密度函数p(x)。
由于全概率是1，故:积分(负无穷到正无穷)[p(x)]dx=1.
E(X)=积分(负无穷到正无穷)[x*p(x)]dx.
例如,当p(x)=2x (0<=x<=1) p(x)=0 当x取其他[0,1]外的数值时p(x)=0.
此时我们先验证:积分(负无穷到正无穷)[p(x)]dx=1. 这是显然的。
因为，积分(负无穷到正无穷)[p(x)]dx=积分(0到1)[2x]dx=[x²]|(x=1)-[x²]|(x=0)=1-00=1.
于是我们可以计算此时
E(X)=积分(负无穷到正无穷)[x*p(x)]dx
=积分(0到1)[x*2x]dx
=积分(0到1)[2x²]dx
=[(2/3)x^3]|(x=1)-[(2/3)x^3]|(x=0)
=2/3.