Question

（2）若不等式x+1的绝对值加上x-3的绝对值大于a+a/4对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

若不等式|x+1|+|x-3|>=a+4/a任意的实数 x成立，则实数a的取值范围是
解：
首先有绝对值不等式:
|a|+|b|>=|a±b|
利用这个结论得:
|x+1|+|x-3|>=|(x+1)-(x-3)|=4
所以左边的最小值是4
要使得左边>=a+4/a恒成立,须左边的最小值也要>=a+4/a
所以4>=a+4/a
(1)若a>0则两边同时乘a,不等号方向不变
4a>=a^2+4
整理得a^2-4a+4<=0
(a-2)^2<=0
只有a=2
(2)若a<0则两边同时乘a,不等号方向改变
4a<=a^2+4
整理得a^2-4a+4>=0
(a-2)^2>=0
恒成立
综之,a=2或a<0

Answer 2

在数轴上：
|x＋1|就表示数x到－1的距离；
|x－3|就表示数x到3的距离。
则：
|x＋1|＋|x－3|就表示数x到－1和到3的距离之和，这个距离之和的最小值是4
则：
只要a＋(4/a)小于[|x－3|＋|x＋1|]的最小值即可，得：
a＋(4/a)<4
a＋(4/a)－4<0
(a²－4a＋4)/(a)<0
(a－2)²/a<0
则：a<0

Answer 3

x+1的绝对值加上x-3的绝对值的最小值为4，所以有
4>a+a/4
a<16/5

Answer 4

题目应该是|x+1|+|x-3|>a+4/a，对吧？不然可以合并同类项了。|x+1|表示横坐标上x到-1的距离|x-3|表示横坐标上x到3的距离显然几何意义可知，任何一点到-1和到3的距离之和最小为4所以4>a+4/a显然a<0时，全部满足。a>0时4>a+4/a4a>a^2+4a^2-4a+4<0(a-2)^2<0无实数解。综上所述：a<0