Question

已知函数f(x)＝x-x分之2+1-alnx(a＞0）（1）讨论f(x)的单调性（2）设a＝3，求f(x)在区间[1,e的2]上的值域

Answer 1

因为f(x)=x-(2/x)-alnx(a>0)f'(x)=1 2/x^2-a/x=(x^2-ax 2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax 2=(x-a/2)^2-a^2/4 2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0<a<=2√2
则x^2-ax 2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数
若a>2√2
x^2-ax 2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax 2>0,x>[a √(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax 2<0,[a-√(a^2-8)]/2<x<[a √(a^2-8)]/2
定义域x>0
综上
0<a<=2√2，f(x)是增函数
a>2√2,则x>[a √(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数，
[a-√(a^2-8)]/2<x<[a √(a^2-8)]/2时是减函数a=3
f'(x)=1 2/x^2-3/x=(x^2-3x 2)/x^2=0，x=1，x=2
则x>2时是增函数，
1<x<2是减函数
所以x=2最小=2-3ln2
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]

Answer 2

f(x)=x-2/x+1-alnx
f(x)'=(x^2-ax+2)/x^2；（x＞0）
①△=b^2-4ac=a^2-8≤0 0 ≤a≤2√2
f(x)在x＞0衡为增；
②△=b^2-4ac=a^2-8 a>2√2
x=±√(a^2-2)+a/2;
f(x)在(-√(a^2-2)+a/2,√(a^2-2)+a/2)为减；
f(x)在（0,-√(a^2-2)+a/2)）和（√(a^2-2)+a/2)，+∞）为增；
(Ⅱ)a=3
f'(x)=(x²-ax+2)/x²=(x-1)(x-2)/x²
令f'(x)=0
x=1 x=2
当 1<x<2 单调减
x>2 单调增
x=2时有极小值
则f(2)=2-1+1-3ln2=2-3ln2
f(1)=1-2+1-0=0
f(e²)=e²-2/e²+1-6=2.1179
值域为[2-3ln2，2.1179]

Answer 3

f(x)＝x-2/x+1-a*lnx，(a>0)，定义域：x>0
1
f'(x)=1+2/x^2-a/x，△=a^2-8
1)
当△=a^2-8<0，即：0<a<2sqrt(2)时，f'(x)>0，函数是增函数
当△=a^2-8=0，即：a=2sqrt(2)时，当：1/x=2sqrt(2)/4，即：x=sqrt(2)时，f'(x)=0
当：0<x<sqrt(2)，f'(x)>0，当：x>sqrt(2)时，f'(x)>0，故x=sqrt(2)不是函数的极值点
故：△=a^2-8≤0，即：0<a≤2sqrt(2)时，函数是增函数
2)
△=a^2-8>0，即：a>2sqrt(2)时，当：(a-sqrt(a^2-8)/4<1/x<(a+sqrt(a^2-8)/4
即：4/(a+sqrt(a^2-8)<x<4/(a-sqrt(a^2-8)时，函数是减函数
当：1/x≥(a+sqrt(a^2-8)/4或0<1/x≤(a+sqrt(a^2-8)/4，即：
0<x≤4/(a+sqrt(a^2-8)或x≥4/(a-sqrt(a^2-8)时，函数是增函数
2
a=3，f(x)=x-2/x+1-3lnx，函数的减区间：(1,2)，增区间：(0,1]∪[2,+inf)
在题目给的区间：[1,e^2]内，在[1,2)内是减函数，在[2,e^2]内是增函数
故函数在x=2处取得最小值：f(2)=2-3ln2
而：f(1)=1-2+1=0，f(e^2)=e^2-2/e^2+1-6=e^2-2/e^2-5≈2.1，故函数的值域：
y∈[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]