Question

如果函数y=丨x丨-1的图像与方程x^2+λy^2=1的曲线恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范

Answer 1

y=丨x丨-1 在正半轴为y=x-1,在负半轴为y=-x-1， 交点(0,-1)1) 当λ=1时， x^2+λy^2=1为圆， 显然有3个交点2) 当λ>1时， x^2+λy^2=1为椭圆，焦点在x轴上，与y=x-1（x>0)联立,消去y, 得 x^2+λ(x-1)^2=1,(1+λ)x^2-2λx+λ-1=0 判别式=4λ^2+4(1+λ)(1-λ)=4>0, x1x2=λ-1>0, x1+x2=-2λ/(1+λ)>0, 所以在x>0时，有两个解, 根据对称性，有4个交点3) 当0<λ<1时， x^2+λy^2=1为椭圆，焦点在y轴上，与y=x-1（x>0)联立,消去y,得 x^2+λ(x-1)^2=1,(1+λ)x^2-2λx+λ-1=0 判别式=4λ^2+4(1+λ)(1-λ)=4>0, x1x2=λ-1<0, x1+x2=-2λ/(1+λ)>0, 所以在x>0时，有1个解, 根据对称性，有2个交点4) 当λ=0， x^1=1, x=1,-1, 显然有2个交点5) 当-1<λ<0， x^2+λy^2=1为双曲线，焦点在x轴上，与y=x-1(x>0)联立,消去y,得 x^2+λ(x-1)^2=1,(1+λ)x^2-2λx+λ-1=0 判别式=4λ^2+4(1+λ)(1-λ)=4>0, x1x2=λ-1<0, x1+x2=-2λ/(1+λ)<0, 所以在x>0时，有1个解, 根据对称性，有2个交点6) 当λ=-1， x^2+λy^2=1为双曲线，焦点在x轴上，与y=x-1(x>0)联立,消去y,得 x^2+λ(x-1)^2=1, x=1 所以在x>0时，有1个解, 根据对称性，有2个交点7) 当-λ<-1， x^2+λy^2=1为双曲线，焦点在x轴上，与y=x-1(x>0)联立,消去y,得 x^2+λ(x-1)^2=1,(1+λ)x^2-2λx+λ-1=0 判别式=4λ^2+4(1+λ)(1-λ)=4>0, x1x2=λ-1<0, x1+x2=-2λ/(1+λ)<0, 所以在x>0时，有1个解, 根据对称性，有2个交点综合上述：λ<1

Answer 2

不能联立方程。
解：由y=|x|-1可知图象为)经过(-1,0)(1,0)(0,1)的w形，很容易画。曲线x^2+入y^2=1可以是椭圆也可以是双曲线。
则入=1/b
①当曲线为椭圆时,b>1才有两个不同的公共点，即入=1/b<1
②当曲线是双曲线时入=1/b≥-1
即入的取值范围[-1,1)

Answer 3

解：由y=丨x丨-1

lxl=1+y
代入x^2+λy^2=1得
1+2y+y²+λy²=1
=>(λ+1)y²+2y=0
此方程有两个不同的解可知
=>Δ=4-λ-1>0
所以，λ<3

Answer 4

解：由y=丨x丨-1

=>lxl=1+y
=>1+2y+y²+λy²=1
(λ+1)y²+2y=0
=>Δ=4-λ-1>0
所以，λ<3

Answer 5

联立一下，消去一个变量，解方程就可以了