Question

分割、近似、求和、取极限为什么可以化成定积分？（书上是这么定义的，为什么成立呢？）

Answer 1

定义：

(参考自：http://zhidao.baidu.com/question/369448448.html)

定积分中的「∫」表示求和、加起，起初并没求原函数的意思

与不定积分的结果是毫无关系的，所以定积分的正式算法是用定义，即分割求和取极限

并不是先求原函数再代入上下限

但后期出现的有牛顿-莱布尼茨公式，所以才把定积分与不定积分的关系联系起来

可能你看到定积分和不定积分都有「∫」符号都以为它们意义都差不多，实际上是非常不同的

而不定积分中的「∫」纯粹是个表达符号，没有特别意义

所以在历史上，定积分是最早出现了，然后到导数，最后到不定积分

Answer 2

其实问题很简单,被大家和楼主复杂化了.
最初人们是遇到了这样一类问题,几何上求取边梯形的面积,物理上求变速度下的位移(速度曲线已知,位移就是线下面积),等等这样一类问题,解决的办法就是分割,近似,求和,取极限,因为很多问题都有这样的共同特征,解决方法也都是这四个步骤,所以给出的一个定义,那就是定积分的定义,把这样一类问题定义为定积分,这类问题的结果就是求得的定积分的结果.

根据你的补充来看.
1.你把这个问题的顺序搞反了,虽然我们开始研究的时候是从曲边梯形的面积开始的,最后抽象得到的是一类问题的特征,然后给出定义,你学习的时候应该抛开先面积后定义的做法,应该是先学定义,然后理解几何意义,物理意义等等

2.定义本身是一个数学抽象.所说的过程那就是研究这类问题的过程了.就好比你面前有一个苹果一个橙子一个梨,当你在研究他们数量的时候你发现他们都是一个,然后有了数字1的定义,当你研究他们是什么的时候,你有了水果的定义等等吧,定积分的定义是来源于解决曲边梯形面积的分割,近似,求和,取极限这四部过程,在定义中已经含有了.

3.定积分是从曲边梯形面积中抽象出来的数学定义,它的几何意义当然就是曲边梯形的面积.

4.至于你说你自己找到了.其实不然.虽然给出了定积分定义,但是解决这一类问题的时候不可能用定义来求解.你找的牛顿莱布尼茨公式是求解定积分的方法,同时也是将积分学与微分学联系起来的公式.它给我们提供一种用原函数求解定积分的方法,而不是用定义.

楼主还有不懂的可以百度Hi我

Answer 3

分割、近似、求和、取极限是求不规则问题的步骤，定积分是这些步骤的表达式，你说他们能不成立吗？