Question

一道线性代数方面的题目，如果n阶矩阵A中的所有元素都是1，求出A的所有特征值，

并求出A的属于特征值 入=n 的特征向量，求详解！

Answer 1

对行列式|λE-A|进行如下操作：
把A的第2,3,...,n列都加到第一列；
第一列提取公因子λ-n；
第一行乘以-1加到下面各行。
行列式化为上三角行列式，所以|A-λE|=(λ-n)×λ^(n-1)。
所以A的特征值是n与n-1个0。
设向量α=(1,1,...,1)'，'代表转置，则矩阵A=αα'。
Aα=(αα')α=(α'α)α=nα，所以k×α是对应n的特征向量，k是任意实数。

追问

(αα')α=(α'α)α，括号里的向量为什么可以调换顺序啊？

追答

矩阵的乘法满足结合律，(αα')α=α(α'α)，因为α'α=n，数与向量相乘时数写在前，所以(αα')α=(α'α)α=nα