Question

初三一道几何数学题

如图，在△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C，还知道四边形ABCD是正方形。（1）连接BD分别交AE\AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系

Answer 1

MN^2=ND^2+DH^2
证明：因为三角形ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到三角形ADH
所以三角形ABM和三角形ADH全等
所以角BAM=角DAH
AM=AH
角ABM=角ADH
因为四边形ABCD是正方形
所以角ABM=角ADN=45度
所以角ADH=45度
因为角NDH=角ADH+角ADN
所以角NDH=90度
由勾股定理得：
NH^2=ND^2+DH^2
因为三角形AEG沿AE折叠得到三角形AEB
所以三角形AEG和三角形AEB全等
所以角BAM=角EAG
因为三角形AFG沿AF折叠得到三角形AFD
所以三角形AFG和三角形AFD全等
所以角FAG=角FAD
因为角MAN=角EAG+角FAG
角HAN=角DAH+角FAD
所以角MAN=角HAD
因为AN=AN
所以三角形AMN和三角形AHN全等（SAS)
所以MN=NH
所以MN^2=ND^2+DH^2

Answer 2

连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵AM=AH∠EAF=∠NAHAN=AN​，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN=NH，
∴MN2=ND2+DH2；

Answer 3

（2）MN2=ND2+DH2，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵AM=AH∠EAF=∠NAHAN=AN，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN=NH，
∴MN2=ND2+DH2；

（3）设AG=BC=x，则EC=x-4，CF=x-6，
在Rt△ECF中，
∵CE2+CF2=EF2，即（x-4）2+（x-6）2=100，x1=12，x2=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD=AB2+AD2=122+122=122，
∵BM=32，
∴MD=BD-BM=122-32=92，
设NH=y，
在Rt△NHD中，
∵NH2=ND2+DH2，即y2=（92-y）2+（32）2，解得y=52，即MN=52．

Answer 4

ND平行DH啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊