Question

y=(1+x)^(1/x)的函数怎样求导，，，

Answer 1

解决这这导数有好几种方法。
第一种：同时取对数
ln(y)=ln(1+x)/x
y'/y=1/(x(1+x))-ln(1+x)/x^2
y'=y*(1/(x(1+x))-ln(1+x)/x^2)=(1/(x(1+x))-ln(1+x)/x^2)*(1+x)^(1/x)
第二种方法是用多元函数的全微分来解，在这儿有点难理解。
不过简单说吧
y=（1+x)^(1/z)
dy=(1/z)*(1+x)^(1/z-1)dx+(1+x)^(1/z)*ln(1+x)*(-1/z^2)dz
z=x的，
dy=(1/x)*(1+x)^(1/x-1)dx+(1+x)^(1/x)*ln(1+x)*(-1/x^2)dx
y'=(1+x)^(1/x)(1/(x(x+1))-ln(1+x)/x^2)
两个结果是一样的。
第二种方法也可以理解是两个x是不一的，分别求两次，每次的另外一个x当做常数。

追问

y'/y 这是怎么回事啊?我高3学生！

Answer 2

y=(1+x)^(1/x),
取对数，lny=1/x*ln(1+x),
再求导，
1/y*y’=(-1/x^2)ln(1+x)+1/x*1/(1+x)
y’=[(-1/x^2)ln(1+x)+1/x*1/(1+x)]y
=[(-1/x^2)ln(1+x)+1/x*1/(1+x)] (1+x)^(1/x)

追问

y'/y这是怎么回事啊!我高三的学生两边求导不是1/y吗，

追答

当y是自变量时，导数是1/y,当y是因变量时，导数是1/y*y'

追问

不明白啊?能不能详细点啊?怎么还有因变量和自变量之分呢?

追答

y=f(x),y是因变量（或函数），x是自变量,这是显式方程，隐式方程f(x,y)=0，（如x^2+y^2=0)求导时就要区分开变量的种类，也就是对哪个变量求导

追问

对后面的式子求导是把y看成因变量吗?但前面怎么就变成y`/y了呢?

追答

例子：x^2+y^2=0，对x求导，2x+2y*y'=0,y'=-x/y
lny=1/x*ln(1+x),对x求导，1/y*y'=.....,懂了吗，不懂可再问，希望对你有帮助

追问

你说的是不是当对x求导时x是自变量而对y来说y是因变量是不是 lny此时的导函数就是y`/y啊?

追答

对呀，要看对哪个变量求导，采取不同方式

追问

对因变量的函数求导是不是有固定的公式啊?

追答

函数种类比较多，如指数函数，对数函数，求导是不一样的，要具体情况分别对待，要学好教材，灵活运用，因变量的函数求导主要是区分是哪种函数，不同的函数，结果不同

追问

你刚刚说的那个题第一次求导后y'=,,,分母怎么多了 lny啊?怎么来得、

追答

lny是取对数得到的，不是求导得到