Question

急求！！微积分的问题

形状为椭球体4X^2+Y^2+4Z^2≤16的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热。一小时后在探测器的点（X,Y,Z）处的温度为T=8X^2+4YZ-16Z+600
求探测器表面最热的点？

Answer 1

由椭球面：4X^2+Y^2+4Z^2=16

其中 0≤X≤2, 0≤Y≤4, 0≤Z≤2

得4X^2=16-Y^2-4Z^2

∴T=8X^2+4YZ-16Z+600

=-2Y^2-8*Z^2+4*Y*Z-16*Z+632

=-2(Y^2-2*Y*Z+Z^2)-6*Z^2-16*Z+632 （配方）

=-2(Y-Z)^2-6(Z^2+8/3*Z+16/9)+32/3+632 （配方）

=-2(Y-Z)^2-6(Z+4/3)^2+1928/3

可见前两项不大于0，由Y,Z的范围可知

当Z=-4/3，Y=Z=-4/3时，T取最大值1928/3

此时X=±1/2*√(16-Y^2-4Z^2)=±4/3

∴所求点为两个（±4/3，-4/3，-4/3）

T最大值为1928/3 （约642.6667）

Answer 2

T=8*X^2+4*Y*Z-16*Z+600+λ(4X^2+Y^2+4Z^2-16)

dT/dX=16X+8λX = 0 (1)
dT/dY= 4 Z + 2λY = 0, (2)
dT/dZ=4 Y - 16 + 8λ Z = 0 (3)
由(1)得 X=0或λ=-2
若λ=-2 带入(2)(3) 得4Z-4Y=0 和 4Y-16-16Z=0 可解得 Y=Z=-4/3
4X^2+Y^2+4Z^2=16 可得 X^2= 16/9
对应T= 8X^2+4*Y*Z-16*Z+600=1928/3

若X=0 由（2）（3）可解得
λ=1 时 4Z+2Y=0 4Y+8Z-16=0 无解
λ=-1 时 4Z-2Y=0 4Y-8Z-16=0 无解
λ≠±1时 Y = -4/(λ²-1), Z = 2λ/(λ²-1)
带入4X^2+Y^2+4Z^2=16得 16+16λ²=16(λ²-1) ² 1+λ²=(λ²)²-2λ²+1 解得λ=0,±√3
λ=0 Y=4,Z=0 T=8X^2+4YZ-16Z+600=600

λ=√3 Y=-2,Z=√3 T=8X^2+4YZ-16Z+600=-8√3-16√3+600=600-24√3

λ=-√3 Y=-2,Z=-√3 T=8X^2+4YZ-16Z+600=8√3+16√3+600=600+24√3
600-24√3<600+24√3<1928/3

最大值为1928/3

Answer 3

作拉格朗日函数F(x,y,z,λ)= 8X^2+4YZ-16Z+600 - λ·(4X^2+Y^2+4Z^2-16)
令
{
偏F/偏x=16x - 8λ·x =0 ①
偏F/偏y=4z -2λ·y =0 ②
偏F/偏z=4y-16 - 8λ·z =0 ③

偏F/偏λ= -(4X^2+Y^2+4Z^2-16)=0 ④

由①得：x=0或λ=2
由②③得 y=4/(1-λ²)，z=2λ/(1-λ²)
将x=0，y=4/(1-λ²)，z=2λ/(1-λ²)代入④得
λ= -√3，0或√3
则
λ= √3时，y= -2,z=-√3。
将x=0,y= -2,z=-√3代入T=8X^2+4YZ-16Z+600 得 T=600+24√3
λ= 0时，y= 4, z=0
将x=0,y=4,z=0代入T=8X^2+4YZ-16Z+600 得 T=600
λ= -√3时，y= -2,z=√3。
将x=0,y= -2,z=√3代入T=8X^2+4YZ-16Z+600 得 T=600-24√3

∴表面最热的点是(0，-2，-√3)，为600+24√3