Question

设圆C的圆心在双曲线x^2/a^2-y^2/2=1(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l:x-√3y=0截得

设圆C的圆心在双曲线x^2/a^2-y^2/2=1(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l:x-√3y=0截得的弦长等于1，则a的值为

Answer 1

由题意，可得，右焦点的坐标为（√（a²+2）,0），设圆的半径为r
因为圆C被直线l:x-√3y=0截得的弦长等于1，所以该直线到圆心的距离为√（r²-0.5²）
所以由距离公式可得√（a²+2）/√（1+3）=√（r²-0.5²）
解得a²+3=4r²，即a²=4r²-3 ①
可知渐近线的方程为y=（b/a）x=（√2/a）x，整理为√2x-ay=0
由于圆与该渐近线相切，所以由距离公式可得（√2*√（a²+2））/√（a²+2）=r ②
将①式代入②式
整理可得4（r²）²-9r²+2=0
解得r²=2或r²=1/4
将上面得数代入①式
得a²=5或a²=-2（舍去）
因为a＞0，所以a=√5