Question

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0 ,记M=max{ l f(x) l ,x∈[0,1]}

证明至少存在一点ζ∈(0,1)，使得 l f`(ζ)l ≥2M

Answer 1

由f(x)在[0,1]上连续, |f(x)|在[0,1]上可以取得最大值M.
设在c∈[0,1]处|f(c)| = M.
若c ≥ 1/2, 在[c,1]上由Lagrange中值定理, 存在ζ∈(c,1)使f'(ζ) = (f(1)-f(c))/(1-c) = -f(c)/(1-c).
此时|f'(ζ)| = |f(c)/(1-c)| = M/(1-c) ≥ 2M.
若c ≤ 1/2, 在[0,c]上由Lagrange中值定理, 存在ζ∈(0,c)使f'(ζ) = (f(c)-f(0))/(c-0) = f(c)/c.
此时|f'(ζ)| = |f(c)/c| = M/c ≥ 2M.