Question

如图。Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC。

已知AC=3，OC=4根号2，则另一直角边BC的长为-----------

Answer 1

过O作OP⊥BC，过A作AQ⊥OP，
∵四边形ABDE为正方形
∴∠AOB=90°，OA=OB
∴∠AOQ+∠BOP=90°
又∵∠AQO=90°
∴∠AOQ+∠OAQ=90°
∴∠BOP=∠OAQ
在△AOQ和△BOP中，
∵∠AQO=∠OPB=90°，∠OAQ=∠BOP， OA=OB，
∴△AOQ≌△BOP(AAS)
∴AQ=OP，OQ=PB。
又∵∠ACB=∠AQP=∠CPQ=90°
∴四边形ACPQ为矩形
∴AQ=CP，AC=QP=3
∴OP=CP∴△OCP为等腰直角三角形。
∵OC=4√2，∴根据勾股定理得：CP^2+OP^2=OC^2，即2CP^2=32，解得CP=OP=4
∴PB=OQ=OP-PQ=4-3=1
∴BC=CP+BP=4+1=5

Answer 2

BC=5。
分别过O作OP⊥CA于P，作OQ⊥BC于Q，
易得：ΔOAP≌ΔOBQ，ΔOCQ是等腰直角三角形，
∴AP=CQ=4，BQ=AP=1，
∴BC=5。