Question

设函数f(x)=x^2-(a-2)x-alnx (1)求函数的单调区间（2）若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a

Answer 1

解：（1）f （x）=x +（2-a）x- =
因为x>0
当a≤0时，f （x）≥0，则f（x）严格单调递增
当a>0，若0<x< ，f （x）〈0，f（x）单调递减
所以单调递减区间为（0， ）
若x> ，f （x）>0，f（x）单调递增
所以单调递减区间为（ a/2，∞）
（2）
由（1）知：当a>0时
f（ a/2）为极小值
若函数有两个零点，则f（a/2 ）<0
所以（a/2 ） -(a-2) -aln 〈0
1-ln <
1- <ln
当a=3时，不等式可满足。所以最小的正整数为a=3

Answer 2

（1）先求导
得f'(x)=2x+(2-a)-a/x=[2x^2+(2-a)x-a]/x=(x+1)(2x-a)/x(x>0)
1）当a/2>0，即a>0时，f(x)在（0，a/2）上递减，在（a/2，+∞）上递增；
2）当a/2≤0，即a≤0时，f(x)在（0，+∞）上递增。
（2）由（1）可知：f（x）的图像为“减-增”或单调增（不满足题意，舍去），
由题意，得：a>0,且f（a/2）为极小值。只要f（a/2）<0即可满足题意。
所以有 a>0且f（a/2）<0 由题意，代入a=1，2，3……进行检验。
求得满足条件的最小正整数a=3
谢谢~！