Question

逻辑函数化简。请问第10题怎么做?

Answer 1

这题没什么难的，唯一需要考虑的就是【约束条件】。【约束条件】你应该学过，我说一下我的理解：
　　【约束条件】是通过外界条件——即与逻辑函数本身无关的条件——对自变量的【某些取值】进行的一种限制。对自变量的取值来说，【约束】是限制条件；但对于逻辑函数的化简，它却是“辅助条件”。要知道，逻辑函数本身，也是对自变量取值的一种“限制”。现在，因为外界条件已经对自变量的这些取值做了考虑，那就无须逻辑函数再去考虑这些取值了。可以这么看：
　　带约束的逻辑函数，总是包含两部分：①、逻辑函数的表达式；②、约束表达式。它们共同决定了自变量的取值与因变量——即逻辑函数的最终输出——的关系。对逻辑函数表达式（指①）进行化简也好，进行变形也好，变换之后，会形成一个新的表达式，不妨记作：①′。
　　对于以前普通的逻辑函数，我们肯定会要求：①′＝①。但现在，我们有了【约束条件】——②。因为新的逻辑函数肯定还是要包含以上两部分的，即：①′和②。那么我们的要求就变成了：
　　　　①′②　＝　①②；
　　因为②的存在，就使得①′和①可以有少许的不同——只要②能够将这些不同“找补”回来就行了。出于简化的目的，①′通常比①包含更多的最小项。
　　从本题也不难看出，原函数F只有4个最小项，但A、B、C、D四个选项，每一个所包含的最小项都超过了4个。

　　以上是化简的原理，也是基本原则，具体方法教材上都有。卡诺图法应该是最好的方法，我现在只把结果告诉你：
　　F的4个最小项的表达式为：
　　　　A′B′C′D′、A′B′CD′、AB′C′D、ABC′D；（A′表示：A的非）
　　约束条件为我们提供了7个最小项，我只写用到的4个：
　　　　A′BC′D′、A′BCD′、AB′CD、ABCD；
　　以上2组共8个最小项就可以合并为最简与或式了：
　　　　第1组的前2个，和第2组的前2个，合并为：A′D′；
　　　　第1组的后2个，和第2组的后2个，合并为：AD；
　　结果很明显了，答案就是选项C：A′D′＋AD；

追问

非常感谢你的回答。可以用约束条件的7个最小项与表达式的4个最小项进行逻辑加吗？这样的话容易理解一些。单独抽出4项来合并不是很明白。

追答

　从“变换的等价性原则”来看，你可以把【约束条件】7个最小项的“任意多个”，与【函数表达式】的4个最小项进行逻辑加——这是带约束的逻辑函数的【基本性质】，也是解决此类题目的关键中的关键。
　所以你当然可以将这7项全部与函数表达式进行逻辑加，但是这样就达不到“化简”的目的了。
　我前面长篇大论所说的那些“原理”、“原则”，其实都是为了说明这个【基本性质】。如果你还不明白，那举个例子：
　给定不等式：
　　①：x²≤100
　解，得：
　　①：－10≤x≤10
　现在为原式增加一个【约束条件】：
　　②：x＞0
　此时原题就应该表述为①和②的联立不等式组。再来解不等式①，就可简化一下结果了：
　　①′：x≤10
　　②：x＞0——约束条件是必须要写的；
　对这个题目，本来我们需要考虑x在【实数集】上的所有取值，以最终确定x的正确范围。但是约束条件②，将我们的考虑范围缩小到【正实数集】。即：②已经把所有的【非正实数】考虑过了。既然已经考虑过了，那么在对①式的处理中，我们：
（1）既可以，对②已经考虑过的【非正实数】，都不再做任何考虑；
（2）也可以，将这些【非正实数】，都再考虑一遍；
（3）还可以，对这些【非正实数】，考虑一部分，忽略另一部分；
所以，本题理论上可以有无数组解：
　①′′：－100≤x≤10
　②：x＞0

　①′′′：－20≤x≤10
　②：x＞0
　…
它们最终都表达了x∈（0，10］这个意思，所以，它们都是等价的。你要明白：
　虽然①、①′、①′′、①′′′…各不相同，但由于②的存在，它们分别与②所组成的“不等式组”，却都是等价的。记住：
　【约束条件】，不只是在化简变形之前有效，在变形之后仍然有效，并必须作为结果的一部分进行考虑——这是“允许（局部）不等价变形”的根本原因。

　同理，本题中【约束条件】已经对那7个最小项做了（取值上的）考虑，那么在对【函数表达式】分析时，对这7项就可做任意处理：
（1）既可以，把它们都当作0处理；——结合卡诺图理解这句话；
（2）也可以，把它们都当作1处理；——就像你所说的，将它们7个全部“逻辑加”到函数表达式中；
（3）还可以，把它们一部分当作0，另一部分当作1处理；——我们就是把其中4个当作1，另外3个当作0处理的。
　其实，是当作0还是1，完全是根据“化简”的需要——这一点可以在卡诺图中看出来。

追问

谢谢你如此详尽的回答。能给个您的联系方法吗？

追答

QQ：727073035