Question

已知函数f(x)=-x^3-2mx^2-m^2x+1-m(其中m>-2),的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行。 （1）求m的值

（2）求f(X)在区间[0,1]的最小值

（3）若a>=0.b>=0.c>=0
.且a+b+c=1 证明a/1+a^2 +
b/1+b^2 + c/1+c^2<=9/10
第一、二问我已经会做了，m=-1,第三问修改一下（3）若a>=0.b>=0.c>=0
.且a+b+c=1 证明a/（1+a^2） +
b/（1+b^2） + c/（1+c^2）<=9/10

Answer 1

解：
（1）
对函数f(x)求导，得：
f'(x)=-3x²-4mx-m²
当x=2时，
f'(2)=-12-8m-m²=-5
即：m²+8m+7=0
因为m>-2
所以：
m=-1
（2）
f(x)=-x³+2x²-x+2
f'(x)=-3x²+4x-1=0
x=1,x=1/3
f'(x)向下
所以x<1/3,x>1,f'(x)<0,减函数
1/3<x<1,f'(x)>0,增函数
所以在[0,1]中，0<x<1/3是减函数，1/3<x<1是增函数
所以x=1/3最小
所以最小值=f(1/3)=50/27

证明：
本题较为难，如果用最值不等式难变形，而且很难根据柯西不等式凑出题设形式，这里使用函数法

构造函数f(x)=x/(1+x²)，设该函数定义域为[0,1]
显然该函数在此定义域为可导函数，于是：
f'(x)=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)² = (-x²+1)/(1+x²)²
f''(x)=[-2x(1+x²)²-4x(-x²+1)(1+x²)]/(1+x²)^4 < 0
即该函数是凸函数
根据凸函数性质，必有：
f(a)+f(b)+f(c)≤3f[(a+b+c)/3] (凸函数性质：http://baike.baidu.com/view/186428.htm)
因此：
a/(1+a²)+b/(1+b²)+c/(1+c²)≤3f(1/3)=9/10