Question

已知点F1，F2分别为椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点，点p喂椭圆上任意一点

，P到焦点F2的距离的最大值为√2﹢1，且△PF1F2的最大面积为1
（1） 求椭圆C的方程
（2） 点M的坐标为（5/4，0），过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点。对于任意k∈R，向量MA·向量MB是否为定值。若是求出这个定值

Answer 1

1.

• P到焦点F2的距离的最大值=a+c=√2﹢1

• MAX S△PF1F2=bc=1

•  a²=b²+c²

• 联立的a=√2 b=1

• 椭圆方程为x²/2+y²=1

•  

追问

Answer 2

（1）PF2+PF1=2a 为定值
pF2最大时，P在x轴上，与椭圆左顶点重合，即：PF2=c+a=根2+1

S△PF1F2=1/2(F1F2)*|P的纵坐标|
|P的纵坐标|其最大值是b
故1/2(2c)*b=1
cb=1 c+a=根2+1 b^2+c^2=a^2
解得：b=1 c=1 a=根2 (其实，一看就知道答案）
x^2/2+y^2=1

（2） 点M的坐标为（5/4，0），过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点。对于任意k∈R，向量MA·向量MB是否为定值。若是求出这个定值
设过M的直线参数方程为：、
x=5/4+tcosa
y=tsina
其中，t为直线上一点到M的距离（有正负）。
设：t1=MA t2=MB
MA.MB=|MA||MB|cos(180)=-|MA||MB|=-|t1||t2|
将：
x=5/4+tcosa
y=tsina
代入x^2/2+y^2=1
25/9+5/2tcosa+t^2cos^2a+t^2sin^2a=1
t^2+5/2cosa*t+16/9=0
韦达定理：|t1t2|=16/9
所以：MA.MB=-16/9，这是定值。

追问

带入后
25/16+t²cos²α+t 5/2cosα+2t²sin²α=2
二次项不应该是2sin²α+cos²α吗？