Question

同余的性质及经典证明，有习题也行

Answer 1

证明：设(a, n ) = 1 ，b 是任意整数，则有整数x ，使得 ax �0�2 b(mod n ) ，并易知所有这样的x形成模n的一个同余类。 使得 ax ≡b(mod n )不定方程ax+ny=b有解的条件为(a, n )|b现在(a, n )=1 也就是必定有解设x1为一解x1的同余类为x同余x1（mod n） 也就是x=nt+x1不定方程想必你学过了吧 把同余转化为不定方程 这样就容易明白了

Answer 2

题1
证明：641|(2^32+1)
证：即2^32+1==0mod641
只须证2^32==-1 mod 641.
2^6=64,故5*(2^7)=640==-1 mod 641,1==(5*2^7)^4==(625)*2^28==-16*2^28=-2^32,从而2^32==-1.毕。

(以下记ax==b mod m为x==b/a mod m,这是洪伯阳记法，很好用)
2^6=64==-1/10 mod 641,故2^7==-1/5,(2^7)^4==1/625==-1/16,从而2^32==-1.毕。

题2：
证明不定方程 xx+2yy=203 无解
证：两边mod7得，xx+2yy==0 mod7
7的平方剩余有:0,1,4,2,可见x==y==0 mod7，设x=7a,y=7b,于是有：
49aa+98bb=7*19,显然无解。