Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=1/2,点D在边AC上(buyu A,C重合）

Answer 1

（1）由F为BD中点，DE⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CF=EF；
（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由tan∠BAC=
1
2
，得到
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
．证明△BCG∽△ACE，得到
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2
．得到GB=DE，得到F是EG中点．于是CF=
1
2
EG，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分类讨论：当AD=
1
3
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC=
1
2
，且BC=6，计算出AC=12，AB=6
5
．M为AB中点，则CM=3
5
，FM=
1
2
AD=2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+3
5
；当AD=
2
3
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
5
．即可得到线段CF长度的最大值．

解答：解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF=
1
2
BD，EF=
1
2
BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．

（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．

由题意，tan∠BAC=
1
2
，
∴
BC
AC
=
DE
AE
=
1
2
．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
BC
AC
=
GB
AE
=
1
2

∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=
1
2
EG，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情况1：如图，当AD=
1
3
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，

∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
，且BC=6，
∴AC=12，AB=6
5
．
∵M为AB中点，
∴CM=3
5
，
∵AD=
1
3
AC，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=
1
2
AD=2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=2+3
5
．
情况2：如图，当AD=
2
3
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
5
．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3
5 ．

Answer 2

重合

Answer 3

问题都不完整