Question

a+b+c=1，a^2+b^2+c^2=2,a^3+b^3+c^3=3,求a^4+b^4+c^4

Answer 1

∵a＋b＋c＝1，∴a^2＋b^2＋c^2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，又a^2＋b^2＋c^2＝2，
∴2＋2（ab＋ac＋bc）＝1，∴ab＋ac＋bc＝－1/2。

∵a＋b＋c＝1、a^2＋b^2＋c^2＝2，∴（a＋b＋c）（a^2＋b^2＋c^2）＝2，
∴a^3＋ab^2＋ac^2＋a^2b＋b^3＋bc^2＋a^2c＋b^2c＋c^3＝2，又a^3＋b^3＋c^3＝3，
∴3＋（ab^2＋a^2b）＋（ac^2＋a^2c）＋（b^2c＋bc^2）＝2，
∴1＋ab（a＋b）＋ac（a＋c）＋bc（b＋c）＝0，
∴1＋ab（1－c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）＝0，
∴1＋ab＋ac＋bc－3abc＝0，∴1－1/2－3abc＝0，∴3abc＝1/2，∴abc＝1/6。

∵a＋b＋c＝1、a^3＋b^3＋c^3＝3，∴（a＋b＋c）（a^3＋b^3＋c^3）＝3，
∴a^4＋ab^3＋ac^3＋a^3b＋b^4＋bc^3＋a^3c＋b^3c＋c^4＝3，
∴a^4＋b^4＋c^4＋（ab^3＋a^3b）＋（ac^3＋a^3c）＋（b^3c＋bc^3）＝3，
∴a^4＋b^4＋c^4＋ab（a^2＋b^2）＋ac（a^2＋c^2）＋bc（b^2＋c^2）＝3，
∴a^4＋b^4＋c^4＋ab（2－c^2）＋ac（2－b^2）＋bc（2－a^2）＝3，
∴a^4＋b^4＋c^4＋2（ab＋ac＋bc）－abc（a＋b＋c）＝3，
∴a^4＋b^4＋c^4＋2×（－1/2）－（1/6）×1＝3，
∴a^4＋b^4＋c^4＝3＋1/6＋1＝25/6。