Question

高二数学排列组合问题，求详解。

（1）30030能被多少个不同偶数整除？
（2）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？
（3）圆周上有10个点，以这些点为短点的弦相交于园内的交点最多有多少个？

Answer 1

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1）30030=2*3*5*7*11*13，要求是偶数就是2的幂指数必然为1，而3,5,7,9,11,13的幂指数为0或1，因此共有2^6=64个偶因数
2）异面直线就是不平行也不交叉的直线，先对每一条直线求出对数，总数除以2即可
共有三类直线：1棱2面对角线3体对角线
1每条棱有不共面棱4条，面对角线6条，体对角线2条，共12*12=144对
2每条面对角线有不共面棱6条，面对角线5条，体对角线2条，共12*13=156对
3每条体对角线有不共面棱6条，面对角线6条，体对角线0条，共12*12=144对
因此异面直线共222对
3）显然交点最多的情况下任意两条交点在园内的弦交点都不相同，而每个园内交点和一个圆内接四边形一一对应，因此共C(10,4)=210个