Question

在三角形abc中,若角A=120°,向量AB乘向量AC=-1,则向量BC的模最小值是

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

∵向量AB·向量AC＝－1，
∴cos∠A＝向量AB·向量AC/（｜向量AB｜｜向量AC｜）＝－1/（AB×AC）。
又∠A＝120°，∴cos∠A＝－1/2，∴－1/（AB×AC）＝－1/2，∴AB×AC＝2。
由三角形中线长计算公式，有：AD＝（1/2）√（2AB^2＋2AC^2－BC^2），
∴4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－BC^2。

由余弦定理，有：BC^2＝AB^2＋AC^2－2AB×ACcos∠A＝AB^2＋AC^2＋AB×AC。
∴4AD^2＝2AB^2＋2AC^2－（AB^2＋AC^2＋AB×AC）＝AB^2＋AC^2－AB×AC。
在△ABC中，显然有：AB、AC都是正数，∴AB^2＋AC^2≧2AB×AC。
∴4AD^2≧2AB×AC－AB×AC＝AB×AC＝2，∴AD^2≧1/2，∴AD≧√2/2。
∴｜向量AD｜的最小值为√2/2。

追问

是向量BC的模的最小值