Question

已知f(x)=X³+ax²-a²x+2

1、若a=1，求曲线y-f(x0在点（1，f(1)）处的切线方程；
2、若a≠0，求函数f(x)的单调区间；
3、若不等式2xInx≤f'(x)+a²+1恒成立，求实数a的取值范围。。

Answer 1

f'(x)=3x²+2ax-a²
1
a=1
f(x)=x³+x²-x+2
f(1)=3
f'(x)=3x²+2x-1
f'(1)=4
切线方程
y=4(x-1)+3
2
f'(x)=3x²+2ax-a²=(3x-a)(x+a)
a>0
x>a/3 ,f'(x)>0 f(x)增
-a≤x≤a/3 f'(x)<0 f(x)减
x<-a f'(x)>0 f(x)增
a<0
x>-a f'(x)>0 f(x)增
a/3≤x≤-a f'(x)<0 f(x)减
x<a/3 f'(x)>0 f(x)增

3.
2xlnx<=f'(x)+a^2+1恒成立,即有2xlnx<=3x^2+2ax+1在x>0上恒成立.
即有a>=lnx-3x/2-1/(2x)
设g(x)=lnx-3x/2-1/(2x)
g'(x)=1/x-3/2+1/(2x^2)=(2x-3x^2+1)/(2x^2)=-(3x+1)(x-1)/(2x^2)
x>1时g'(x)<0,x<1时g'(x)>0,故当x=1时g(x)有最大值是g(1)=0-3/2-1/2=-2
故有范围是a>=-2