Question

已知函数f（x）=e^x+ax^2+bx 1。当a=0 b=-1时 求fx单调区间 2。设函数fx在

已知函数f（x）=e^x+ax^2+bx
1。当a=0 b=-1时 求fx单调区间
2。设函数fx在点p（t，f（t））（0小于t小于1 ）处切线为L，且L与y轴交于点Q，若电Q纵坐标恒小于1 求实数a的范围

Answer 1

1.
f(x)=e^x-x
f'(x)=e^x-1
x<0时f'(x)<0，x>0时f'(x)>0，
f(x)的递减区间是(-∞,0)，递增区间是(0,+∞).
2.
f'(x)=e^x+2ax+b
函数f(x)在点p（t，f（t））的处切线L的方程为：y-(e^t+at^2+bt)=(e^t+2at+b)(x-t)

点Q的坐标为（0,(1-t)e^t-at^2）
由已知(1-t)e^t-at^2<1(其中0<t<1)
记g(t)=(1-t)e^t-at^2,则：
g'(t)=-t(e^t+2a),

当2a>=-1时，g'(t)<=0恒成立，g(t)递减，g(t)<g(0)=1成立。
当2a<=-e时，g'(t)>=0恒成立，g(t)递增，g(t)>g(0)=1成立。
当-e<2a<-1时，g'(t)>=0在（0，ln(-2a)）恒成立，g(t)在（0，ln(-2a)）递增，
在（0，ln(-2a)）内g(t)>g(0)=1成立。

综上a的取值范围是（-1/2,+∞)

Answer 2

解，对f(x)求导，有f'(x) =e^x +2ax+b
1、当a=0 b=-1时，f'(x) = e^x-1
f'(x)<0 => x<0
所以，单调递减区间为(-∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)
2、L的直线方程为y-f(t) = f'(t)(x-t)
令x=0, 则y = f(t) - tf'(t)
即Q点坐标为(0, f(t) - tf'(t))
由题意，知f(t) - tf'(t) < 1, (0<t<1)恒成立
f(t) - tf'(t)
= e^t +at² + bt - te^t -2at² - bt
= (1-t)e^t - at²
令g(t) = (1-t)e^t - at², (0<t<1)
则maxg(t)<1
g(0) = 0, g(1)= -a
g'(t) = -te^t - 2at
g''(t) = -(1+t)e^t - 2a,
g'''(t) = -(2+t)e^t < 0, g''(t)单调递减
则g''(t)<g"(0) = -2a
由中值定理，有
g'(t)=g'(0)+g‘’(s)(t-0)<g'(0)+(-2a)(t-0)=-2at (0<s<t)
同理,g(t)=g(0)+g'(v)(t-0)<g(0)+(-2at)(t-0) = -2at²<1
则max(g)<-2at²
当a≥0时，-2at²<0, 则g(t)<1恒成立
当a<0时，-2at²<-2a≤1, 0<t<1（由于g(t)<-2a,所以-2a=1可以成立）
则a≤-1/2
所以，所求实数a范围为(-∞,-1/2]U[0, +∞)

Answer 3

因为f(0)=1,
要使题设成立
需且只需f''(t)=e^t+2a>=0
又0<t<1
所以1<e^t<e
所以a>=-1/2

求采纳！！

Answer 4

求导f(x)=e^x-x---------f(x)'=e^x-1
f(x)'>0推出x>0
f(x)'<0推出x<0
可得
单调增区间负无穷到0，减区间0到正无穷

追问

求详细 分给你

追答

够细的了啊，me在想第二问呢
将ab带入得f(x)然后求导得f(x)'
画图y=e ^x(基本函数)判断大小与1
得区间

追问

把步骤写除开 在考试。。。

追答

(2) f(x)'=e^x+2ax+b将x=t带入得到斜率
k=e^t+2at+b
点斜式得
l:y=k(x-t)+f(t)
x=0带入得y<1
因为t大于零小于一1-t可移向
得：
不好书写自己算吧
不知道对不对，可以参考一下
我可不要你分哦，只是感兴趣！好好考吧

Answer 5

1.
f(x)=e^x-x
f'(x)=e^x-1
x<0时f'(x)<0，x>0时f'(x)>0，
f(x)的递减区间是(-∞,0)，递增区间是(0,+∞).
2.
f'(x)=e^x+2ax+b
函数f(x)在点p（t，f（t））的处切线L的方程为：y-(e^t+at^2+bt)=(e^t+2at+b)(x-t)

点Q的坐标为（0,(1-t)e^t-at^2）
由已知(1-t)e^t-at^2<1(其中0<t<1)
记g(t)=(1-t)e^t-at^2,则：
g'(t)=-t(e^t+2a),

当2a>=-1时，g'(t)<=0恒成立，g(t)递减，g(t)<g(0)=1成立。
当2a<=-e时，g'(t)>=0恒成立，g(t)递增，g(t)>g(0)=1成立。
当-e<2a<-1时，g'(t)>=0在（0，ln(-2a)）恒成立，g(t)在（0，ln(-2a)）递增，
在（0，ln(-2a)）内g(t)>g(0)=1成立。

综上a的取值范围是（-1/2,+∞)