Question

如图，已知P为圆O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角，求证：PC平方+PD平方为定值

快啊急急急急急

Answer 1

证：作OE⊥CD于E，连接OC

设⊙O半径为R，PA＞PB，OP=a

所以 PA=R+a，PB=R-a

∵⊙O中，弦AB，CD交于点P

∴PA•PB=PC•PD（相交弦定理）

∴PC•PD=(R+a)(R-a)=R^2-a^2

∵Rt△OPE中，∠OPE=45°

∴sin∠OPE=OE/OP=(√2)/2

∴OE=【(√2)/2】a

∵⊙O中，OE⊥CD于E

∴CE=1/2CD（垂径定理）

∴CD^2=4CE^2

∵Rt△OCE中，∠OEC=90°

∴CE^2=OC^2-OE^2=R^2-1/2a^2

∴CD^2=4R^2-2a^2

∴PC^2+PD^2

=(PC+PD)^2-2•PC•PD

=CD^2-2PC•PD

=4R^2-2a^2-2(R^2-a^2)

=2R^2

为定值

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追问

不好意思这个太复杂了我看不懂，能不能有简单一点的方法，就是初三能接受的知识

追答

已经修改完了

Answer 2

连接OC   边点O作OHCD于H

 则：CH=DH   

△HOP是等腰直角三角形，

∴OH = PH

在直角三角形COH中，

OC² = CH²+OH² = CH² + PH²

 故：PC² +PD² = (CH+PH)² +(DH - PH)²

                           =CH²+PH² +2CH*PH + DH² +PH² - 2 DH*PH

                           =CH²+PH°+2CH*PH + CH² +PH² - 2 CH*PH

                           =2(CH² + PH²) 

                          = 2 OC² 

                          = 2 r²