Question

已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行

(1)求常数a、b的值；
(2)求函数f(x)在区间[0,t]上的最小值和最大值。（t>0）
【只要第二问的详细解答！><】

Answer 1

答：
(1).
f(x)定义域为x∈R。
f'(x)=3x²+2ax，f'(1)=3+2a=-3，所以a=-3
f(1)=1-3+b=0，所以b=2
所以a=-3，b=2。
(2)
f(x)=x³-3x²+2，f'(x)=3x²-6x
当f'(x)=0时，3x²-6x=0，即x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2。所以：
x ∈ (-∞,0) , 0 , (0,2) , 2 , (2,+∞)
f'(x) >0 , =0 , <0 , =0 , >0
f(x) 递增 , 极大值, 递减 ,极小值, 递增
因为t>0，所以：
①当0<t<2时，f(x)在[0,t]上单调递减，所以f(x)max=f(0)=2，f(x)min=f(t)=t³-3t²+2；
②当t≥2时，f(x)在[0,2]上单调递减，在(2,+∞)上递增，此时f(x)min=f(2)=-2；
而f(0)=2=f(t)=t³-3t²+2时，t1=t2=0，t3=3，所以：
I. 当2≤t≤3时，f(x)max=f(0)=2；
II. 当t>3时，f(x)max=f(t)=t³-3t²+2
所以综上所述：
当0<t<2时，函数f(x)在[0,t]上最小值为t³-3t²+2，最大值为0；
当2≤t≤3时，函数f(x)在[0,t]上最小值为-2，最大值为0；
当t>3时，函数函数f(x)在[0,t]上最小值为-2，最大值为t³-3t²+2。

Answer 2

（1）函数图形过P点得a+b=0,另外在P点处的切线斜率为-3，从而有2a+3=-3 ,解得a=-3,b=3
(2)f(x)=x^3-3x^2+3,f'(x)=3x^2-6x,令f'(x)=0可得x1=0,x2=2
从而当t<=2时，f(x)单调递减，此时f(x)的最大值为3，最小值为t^3-3t^2+3;当t>2时，f(x)在【0，2】上单调递减，在【2，t】上单调递增，此时有f(0)=3,f(2)=-1,f(t)=t^3-3t^2+3,当t^3-3t^2>=0时，函数的最大值为t^3-3t^2
+3,此时t>=3;当t^3-3t^2<0时，函数的最大值为3，此时有2<t<3
综上，当t<=2时，函数的最大值为3，最小值为t^3-3t^2+3;当2<t<3时，函数的最大值为3，最小值为-1；当t>=3时，函数的最大值为t^3-3t^2+3，最小值为-1