Question

高中数学圆锥曲线问题

最近非常纠结 1在圆锥曲线问题中什么时候使用y=kx+m的设法 什么使用x=ky+n的设法？
2 圆锥曲线大题中什么时候使用特殊到一般的推理方法？如是否存在一点使XXX存在 答案上是通过两种特殊方法求出一点 再证明这点也符合一般情况
能否给出几道例题和典型特征 什么时候使用哪种方法？

Answer 1

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Answer 2

1\
直线如果通过Y轴上的定点,就设y=kx+m, 如果通过X轴上的定点,就设x=ky+n
这样计算简单一些.(你在题目中试一下就明白了)
如果都不通过,两种设法计算量相当.
另外,如果是抛物线,表达式中X为一次,就设x=ky+n,这样代进去不需要平方.反之亦然.
2\
要证明通过定点,或者说存在定点满足什么条件.
一种方法是把不定参数归类,求出让不定参数系数为0的(x,y)
如:把直线:(k+1)x+(2k-3)y-3k+2=0
整理成:(x+2y-3)k+x-3y+2=0
根据x+2y-3=0,x-3y+2=0,求出x=1,y=1.对于这个点而言,不管K是何值都成立.(我以直线为例,曲线也是一样)
另一种方法是先找到这个(x,y),代进去把K消掉.
方法是取特殊值.比如K取-1,得到直线y=1;K取3/2,得到直线x=1.两直线的交点(1,1)
再把(1,1)代进去,得:0=0,必然成立,所以通过定点.
实际题目中往往是二次的,第二种方法要简单一些.

追问

取特殊值那种方法 除了先取斜率不存在 再取斜率为0 再证明普通情况下特殊值仍然满足 还有哪种方法？

追答

倒不是说一定要按取斜率不存在 再取斜率为0这样来取.
根据题目的具体条件,哪种情况最方便最好算,就取哪种情况.

追问

具体条件？ 一般是特殊情况不就是斜率为0 斜率不存在 普通斜率吗 ？ 能否给几个例子呢？ 好了加分 感激不尽！！！

追答

你对"特殊"两个字的理解有偏差.不是说斜率为0就特殊，斜率为2就普通.
斜率不确定是一般情况,不管假定斜率为多少都是特殊情况.
当然多数情况下,斜率为0或不存在这两种情况比较好算些.
但这不是绝对的.比如说根据题目条件分析直线并不与坐标轴平行,(例如过点(5,0)的直线与x^2/16+y^2/9=1相交。显然不可能与X轴垂直。)难道就不能算了么？
理论上，对于一个不确定值，你任取一个值都算是特殊情况。取特殊值的本意是随便取一个值。（之所以通常用0或不存在，因为这样的直线平行于坐标轴，好计算。有时候K=根3/3、1、根3，也就是30度，45度，60度。也很好算。）
所以，你需要明白的是随便取，而不是怎么取。
既然是随便取，当然挑好计算的取。
怎么样好计算？看题目的条件来决定。
另外，不确定的不一定是直线。有可能是曲线过定点，那就更谈不上斜率了。
例：
椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为（根2）/2，左、右焦点分别是F1、F2，抛物线y^2=4(根2)x的焦点恰好是该椭圆的一个顶点。
（1）求椭圆的方程
（2）圆x^2+y^2=2/3的切线与椭圆交于A、B两点，以AB为直径的圆是否过定点？
解：（1）x^2/2+y^2=1
(2)
取斜率不存在
x=(根6)/3是圆的一条切线，此时A、B分别为(根6/3，根6/3)、（根6/3、-根6/3）
圆是以（根6/3，0）为圆心，半径为根6/3的圆。
这时再取斜率为0也可以。但在圆的另一边继续取斜率不存在更简单。
x=-(根6)/3是圆的一条切线，此时A、B分别为(-根6/3，根6/3)、（-根6/3、-根6/3）
圆是以（根-6/3，0）为圆心，半径为根6/3的圆。
很显然两圆的公共点只有一个，就是原点。
那么如果过定点，必然是原点。
再设直线方程y=kx+m，与椭圆联立。
得：(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0
x1+x2=-4km/(2k^2+1) x1x2=(2m^2-2)/(2k^2+2)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(m^2-2k^2)/(2k^2+1)
向量OA*向量OB=（x1,y1）*(x2,y2)=x1x2+y1y2=(3m^2-2k^2-2)/(2k^2+1)
又因为直线与圆相切，圆心到直线距离|m|/根号(1+k^2)=(根6)/3, m^2=2/3(1+k^2)
代入上式，得向量OA*向量OB=0
所以，以AB为直径的圆必过原点。