Question

如图在平面直角坐标系中，坐标原点O，A点坐标为（4，0），B点坐标（-1，0），以AB中点P为圆心，AB为直径作

如图在平面直角坐标系中，坐标原点O，A点坐标为（4，0），B点坐标（-1，0），以AB中点P为圆心，AB为直径作⊙P交y轴正半轴于C点
①求经过A、B、C三点抛物线解析式．
②M为①中抛物线顶点，求直线MC对应函数表达式．
③试说明MC与⊙P的位置关系，并说明你的结论．

Answer 1

（1）已知A(4,0),B(-1,0)，则中点P=P(1.5,0)
以AB为直径，则圆的半径为PC=AB/2=2.5
∴圆方程为 (x-1.5)^2+y^2=2.5^2
令x=0，可解得C点坐标为C(0,2) (依图示负根舍弃)
设过A,B,C的抛物线方程为y=ax^2+bx+c
带入三点坐标，可得
16a+4b+c=0
a-b+c=0
c=2
联立可解得
a=-1/2, b=3/2, c=2
∴抛物线方程为 y=-x^2/2+3x/2+2
（2）将抛物线方程配方可得
y=-1/2*(x-3/2)^2+2+9/8
∴当x=3/2时，y取得最大值y(3/2)=2+9/8=25/8
∴顶点坐标为M(3/2,25/8)
∴MC直线方程为 y=(25/8-2)/(3/2)*x+2
整理可得 y=3x/4+2
（3）已知PC=2.5
易求得P(1.5,0)到直线MC的距离为
d=|3*1.5-0+8|/√(3^2+4^2)=2.5
即点P到直线MC的距离等于PC，∴有PC⊥MC
∴MC为圆O的切线

追问

能不能不用圆的方程。。我们还没学。。没有其他解法吗

追答

可以呀，用三角形相似
∵△AOC，△BOC都与△ACB相似
∴△AOC∽△BOC
∴OB/OC=OC/OA
∴OC=√(OA*OB)=√(4*1)=2
∴C点坐标为C(0,2)
（其实这个方法还简单些，只是当时没想到）