Question

有理函数的积分，这道题如何变形出来的，第二步是怎么得到的》？

Answer 1

-4u²/(1-u²)(1+u²)=-4u²/(1-u)(1+u)(1+u²)=A/(1-u)+B/(1+u)+C/(1+u²)
=[A(1+u)(1+u²)+B(1-u)(1+u²)+C(1-u²)]/(1-u)(1+u)(1+u²)
这是一个恒等式，展开后左右两边的对应项系数要相等。
去分母得： -4u²=(A-B)u³+(A+B-C)u²+(A-B)u+A+B+C
A-B=0...............(1)
A+B-C=-4.........(2)
A+B+C=0.........(3)
(3)-(4)得2C=4，故C=2；代入(2)式得A+B=-2.......(4)
(1)+(4)得2A=-2，故A=-1；B=A=-1；
于是得：
-4u²/(1-u²)(1+u²)=-1/(1-u)-1/(1+u)+2/(1+u²)；
也就是：-4u²/(1-u²)(1+u²)=2/(1+u²)-1/(1-u)-1/(1+u)；

这叫“待定系数法”。

Answer 2

只是对被积分函数的一个变形，就像 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 的道理是一样的。
2/(1+u^2)-1/(1-u)-1/(1+u)
=2/(1+u^2)-2/(1-u^2)
=4u^2/(1+u^2)(1-u^2)

追问

你能不能正着做啊，，倒着做不懂啊