Question

如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，

如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的 815
？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时，y=3，
所以B点的坐标为（1，3）
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，
可得a+b+c=34a+2b+c=2c=0​
解得a=-2b=5c=0​，
所以所求的抛物线为y=-2x2+5x．

（2）因为ON的长是一定值，
所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
又该抛物线的顶点坐标为（54，
258），此时tan∠PON=yx=
258：
54=
52．

（3）存在；
把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）
把y=0代入抛物线y=-2x2+5x
得x=0或x=52，所以点N（52，0）
设动点P坐标为（x，y），
其中y=-2x2+5x （0＜x＜52）
则得：S△OAP=12|OA|•x=2x
S△ONP=12|ON|•y=12×
52•（-2x2+5x）=54（-2x2+5x）
由S△OAP=815S△ONP，
即2x=815•54（-2x2+5x）
解得x=0或x=1，舍去x=0
得x=1，由此得y=3
所以得点P存在，其坐标为（1，3）．

Answer 2

⑴y=–x² 4x
⑵tana=4/3

追问

可以详细一点吗